- ThSQ a écrit:
- Joli exo !!
Une solution (un peu compliquée, y'a sûrement + simple ...).
u(n) = (3½+1)^(2n+1)
v(n) = (-3½+1)^(2n+1)
w(n) = u(n)+v(n)
* -1 < v(n) < 0
* w(n) est entier : w(n) = 2 \sum_0^n C_{2n+1}^2k 3^k
* donc E[u(n)] = w(n)
* w(n+2) = 8 w(n+1) - 4 w(n) par récurrence
* 2^(n+1) divise w(n) et on peut même dire que 2^(n+2) ne divise pas w(n)
Bravo.
Je ne trouve pas cette solution compliquée et je n pense pas qu'il y ait plus simple.
De manière générale, dès que E(a*u^n) est présent dans un problème, il est souhaitable de chercher un v tel que |v|<1, u+v et uv soient entiers relatifs.
On a alors u et v racines de x^2-(u+v)x+uv=0 et donc :y_n=a*u^n+b*v^n solution de y_(n+2)=(u+v)y_(n+1)-uvy_n
Si on peut trouver un b tel que y_0=a+b et y_1=au+bv soient entiers, alors, grace à y_(n+2)=(u+v)y_(n+1)-uvy_n, on a y_n entier pour tout n.
Et donc E(a*u^n)=E(y_n-b*v^n)=y_n+E(-b*v^n)
Et comme |b|<1, E(a*u^n)=y_n pour tout n assez grand
Encore bravo.
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