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 problème N°108 de la semaine (19/11/2007-25/11/2007)

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4 participants
AuteurMessage
samir
Administrateur
samir


Nombre de messages : 1872
Localisation : www.mathematiciens.tk
Date d'inscription : 23/08/2005

problème N°108 de la semaine (19/11/2007-25/11/2007) Empty
MessageSujet: problème N°108 de la semaine (19/11/2007-25/11/2007)   problème N°108 de la semaine (19/11/2007-25/11/2007) EmptyLun 19 Nov 2007, 21:08

problème N°108 de la semaine (19/11/2007-25/11/2007) Pb_n1011
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samir
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samir


Nombre de messages : 1872
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Date d'inscription : 23/08/2005

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MessageSujet: Re: problème N°108 de la semaine (19/11/2007-25/11/2007)   problème N°108 de la semaine (19/11/2007-25/11/2007) EmptyLun 19 Nov 2007, 21:10

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci
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ThSQ
Maître



Masculin Nombre de messages : 181
Age : 34
Date d'inscription : 04/10/2007

problème N°108 de la semaine (19/11/2007-25/11/2007) Empty
MessageSujet: Re: problème N°108 de la semaine (19/11/2007-25/11/2007)   problème N°108 de la semaine (19/11/2007-25/11/2007) EmptyMar 20 Nov 2007, 17:17

Solution postée
voici la solution de ThSQ
Une solution pas très satisfaisante car très algébrique et pas très arithmétique (et pas finie !), mais bon ....

Une seule solution trouvée (2,4,10,80)

Lemme 1 : a/(a-1) >= 2^¼ si a > 6
Lemme 2 : 2a/(2a-1) >= 1/2^(1/3) si a > 2
Lemme 3 : 2 < (32CD-1) / (3 (2C-1)(2D-1)) <= 4 si D > C >= 3



1 < a < b < c < d
P1 = abcd - 1
P2 = (a-1)(b-1)(c-1)(d-1)

* Le lemme 1 donne que 2P2 > P1 si a > 6 donc 1 < a <= 6

* Il est facile de voir que a,b,c,d doivent tous avoir la même parité

* a = 2, b,c,d pairs = 2B,2C,2D.
Le lemme 2 montre que 2P2 > P1 dès que B > 2 donc B=1 ou 2 et donc B=2 (b > a)
** B=2, D > C >= 3
Le lemme 3 donne 32CD-1 = 3*3(2C-1)(2D-1) (32CD-1 = 3*4(2C-1)(2D-1) impossible pour des raisons de parité)
ou encore 9(C+D) = 5 +2CD ou encore 1/C+1/D = 2/9 + 5/CD ou encore 2/9 <1/C+1/D <= 2/9 + 5/14
Ca donne C < 7.
On vérifie à la main : C = 5 et D=40 est la seule soluce.

* a = 3, b,c,d impairs
On refait pareil. Pas de solution.

* a = 4,5,6
Pas fini.
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radouane_BNE
Modérateur
radouane_BNE


Masculin Nombre de messages : 1488
Localisation : Montréal
Date d'inscription : 11/01/2006

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MessageSujet: Re: problème N°108 de la semaine (19/11/2007-25/11/2007)   problème N°108 de la semaine (19/11/2007-25/11/2007) EmptyMer 21 Nov 2007, 21:01

salut tout le monde;solution postée.
(solution non trouver )
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abdelbaki.attioui
Administrateur
abdelbaki.attioui


Masculin Nombre de messages : 2564
Localisation : maroc
Date d'inscription : 27/11/2005

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MessageSujet: Re: problème N°108 de la semaine (19/11/2007-25/11/2007)   problème N°108 de la semaine (19/11/2007-25/11/2007) EmptyDim 25 Nov 2007, 18:49

Bonjour
Solution postée
voici la solution d"abdelbaki.attioui
Bonjour
On pose a=n-1, b=m-1, c=p-1 et d=r-1
==> 1=<a<b<c<d et (a+1)(b+1)(c+1)(d+1)=kabcd+1 avec k entier (k>=2).
==> k+1/abcd=(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)(1+1/d)
==> k+1/abcd=<(1+1/a)(1+1/(a+1))(1+1/(a+2))(1+1/(a+3))= (a+4)/a
==> k<1+4/a=<5
==> 2=<k=<4

si 4>=k>=3 ==> 2<4/a ==> a=1. Donc k=3 car pgcd(k,a+1)=pgcd(k,2)=1 (Bezout)
==> 2(b+1)(c+1)(d+1)=3bcd+1
==> 3+1/bcd=2(1+1/b)(1+1/c)(1+1/d)=<2(1+1/b)(1+1/(b+1))(1+1/(b+2))=2(b+3)/b
==> 3<2+6/b==> 2=a+1=<b=<5 , pgcd(3,b+1)=1 et pgcd(2,b)=1 ==> b=3
==> 8(c+1)(d+1)=9cd+1 ==> d(c-8 )=8c+7 et 9<8(1+1/c)(1+1/d)=<8(c+2)/c car c+1=<d
==> d(c-8 )=8c+7 , 8<c<16 , pgcd(9,c+1)=1 , pgcd(8,c)=1 et c-8 divise 8c+7
==> c=9 et d=(8c+7)/(c-8 )=79
==> (a,b,c,d)=(1,3,9,79)

si k=2 ==> a=<2 et pgcd(2,a+1)=1 ==> a=2
==> 3(b+1)(c+1)(d+1)=4bcd+1
==> 4+1/bcd=3(1+1/b)(1+1/c)(1+1/d)=<3(1+1/b)(1+1/(b+1))(1+1/(b+2))=3(b+3)/b
==> 4<3+9/b ==> 3=<b=<8 , pgcd(4,b+1)=1 et pgcd(4,b+1)=1==> b€{4,6,8}
si b=8 ==> 27(c+1)(d+1)=32cd+1
==> 27(c+1)(d+1)=32cd+1> 32cd
==> 32<27(1+1/c)(1+1/d)=<27(c+2)/c=27+54/c
==> 5<54/c ==> 9=b+1=<c =<10. Mais pgcd(3,c)=1 ==> c=10
==> 297(d+1)=320d+1 ==> 23d=296 pas de solution.
si b=6 ==> 21(c+1)(d+1)=24cd+1
==> 21(c+1)(d+1)=24cd+1> 24cd
==> 24<21(1+1/c)(1+1/d)=<21(c+2)/c=21+42/c
==> 3<42/c ==> 7=b+1=<c =<13. Mais pgcd(21,c)=1 et pgcd(24,c+1)=1 ==> c=10
==> 231(d+1)=240d+1 ==> 9d=230 pas de solution.
si b=4 ==> 15(c+1)(d+1)=16cd+1
==> d(c-15)=15c+14 et 15(c+1)(d+1)=16cd+1> 16cd
==> d(c-15)=15c+14 et 16<15(1+1/c)(1+1/d)=<15(c+2)/c=15+30/c
==> 1<30/c ==> 15<c =<29. Mais pgcd(15,c)=1 et pgcd(16,c+1)=1
==> c€{16,22,26,28} et c-15 divise 15c+14 ==> c=16 et d=(15c+14)/(c-15)=254
==> (a,b,c,d)=(2,4,16,254)
Donc (n,m,p,r)= (2,4,10,80) ou (3,5,17,255)
A+
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MessageSujet: Re: problème N°108 de la semaine (19/11/2007-25/11/2007)   problème N°108 de la semaine (19/11/2007-25/11/2007) Empty

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