Anneau commutatif

Soit (A,+,x) un anneau tel que qqs x,y dans A , xy€{yx,-yx}.
Montrer que A est commutatif.

Une réponse ..... très compliquée ...

On commence par montrer que (xy)² = x²y² dans tous les cas (c'est facile).

(x(1+y))² = x²(1+y)² en développant les deux il vient : xyx = yx²
((1+x)y)² = (1+x)²y² en développant les deux il vient : yxy = xy²
((1+x)(1+y))² = (1+x)²(1+y)² en développant les deux il vient : 4xy = 3xy + yx c'est à dire xy=yx

Ouf !

Z={x / xy=yx qqs y}
Z'={x / xy=-yx qqs y}

On a ZUZ'=A et Z,Z' sont des ss-gpes de (A,+) ==> Z=A .
Car la réunion de 2 ss-gpes est groupe ssi l'un est inclus dans l'autre.