Problème de Décembre 2007

Montrer que si cos(x2^n) > cos(y2^n) pour tout entier n;
où x et y sont des réels, alors x = 2pik pour un certain entier k.

Salut,
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Postée par mp.
Bonjour Mr Abdelbaki Attioui,

u_n = cos(x2^n)
v_n = cos(y2^n)

u(n+1) = 2u(n)^2-1
v(n+1) = 2v(n)^2-1

u(n+1)-v(n+1) = (u(n)-v(n)) (u(n)+v(n)) > 0 donc (u(n)+v(n)) > 0

u(n)-v(n) > 0
u(n)+v(n) > 0
donc u(n) > 0 pour tout n

* Si 1/sqrt(2) < u(0) < 1
Si on avait u(n) >= 0 pour tout n u(n) serait convergente vers l avec 1 > l >= 0 mais x = 2^x -1 n' pas de solution sur [0;1[

* Si 0 < u(0) < 1/sqrt(2) : u(1) < 0

Donc le seul cas où u(n) > 0 pour tout n est quand u(n) = 1 pour tout n