Principe des tiroirs 2

Pour n>1, soient 2n pièces d'échec placées aux centres de 2n carrés d'un échiquier n*n. Montrer qu'il y a quatre pièces parmi celles-ci qui forment les sommets d'un parallélogramme.
Si 2n est remplacé par 2n-1, est-ce que la proposition est toujours vraie?

Les exos de combinatoire sont vraiment les plus beaux. Dommage que je ne sache pas les faire généralement


Déjà avec 2n-1 ça marche pas : faire une "croix" en remplissant une ligne et une colonne.

Je l'ai je crois bien

Quelques remarques :

- on a trouvé un //gramme si on peut trouver 2 lignes avec 2 pièces espacées de la même façon
- il y a forcément des lignes qui ont 2 pièces ou plus. Il y a en N > 0.
- pour chacune des N lignes on regarde les espaces entre la première pièce et les autres : les espaces vont de 1 à n-1.


Maintenant on compte le nombre minimum d'espaces possibles = (2n - (n-N)) - N = n :
- "2n - (n-N)" = nombre total de pièces sur les N lignes
- "- N" = on doit enlever l'espace avec la 1ère pièce

n-1 espaces possibles et n espaces au moins

Oui, bien joué tµtµ!

Et, je confirme, vive la combinatoire!