continuité1

soit f continue sur IR telle que ; f(IR) C Z . que peut - on dire de f?
si f(IR) C Q, que peut-on dire de f?
bon courage

Dans les 2 cas, f(R) est un intervalle...
Le seul intervalle possible contenu dans Z ou Q est un singleton...
f est constante dans les 2 cas.

aissa a écrit:

soit f continue sur IR telle que ; f(IR) C Z . que peut - on dire de f?
si f(IR) C Q, que peut-on dire de f?
bon courage

pour f(lR)CQ je crois que f est constante

oui mais comment tu peux le prouver? le premier cas aussi f constante.
bon courage

f étant continue , f(IR) est un intervalle de Z ou de Q selon les cas .
1er Cas : f est à valeurs dans Z
Pour tout couple (a,b) d'éléments de Z avec a, b dans f(IR) ; montrons que a=b . Ce qui prouvera que f(IR) est un singleton.
Supposons donc a<>b par exemple a<b alors f étant continue f possède la propriété de la valeur intermédiaire , soit c=a+(1/2) par exemple ; cette valeur est comprise entre a et b elle est prise par f donc c est dans Z
ce qui induira que (1/2) est dans Z !!!!!
2ème Cas : f est à valeurs dans Q
On reprend la même Démo que précédemment avec la variante suivante :
si a<b a,b dans Q on choisit entre a et b un élément c IRRATIONNEL , lequel c est pris par f donc c devra etre dans Q ce qui serait absurde !!!!!
A+ BOURBAKI

aissa a écrit:

oui mais comment tu peux le prouver? le premier cas aussi f constante.
bon courage

Pour le cas f(R) dans Q, simple question de densité, pour prouver que c'est un intervalle qui est un singleton...
Si f(R) dans Z, c'est un cas particulier de l'autre cas.

salam bourbaki et tout le monde awacher mabrouka
le cas sz Q comme à dit hamza
si f prend deux valeurs distinctes r < r' alors il existe un rationnel r'' entre r/sqrt(2) et r'/sqrt(2) donc sqrt(2).r" et entre r et r' alors TVI inexiste c dans IR tel que f(x)= sqrt(2).r" absurde . car sqrt(2).r"" nest pas rationnel.