Aide pour les futurs mathématiciens
 
AccueilAccueil  PortailPortail  FAQFAQ  RechercherRechercher  S'enregistrerS'enregistrer  Connexion  

Partagez | 
 

 problème N°112 de la semaine (17/12/2007-23/12/2007)

Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Aller en bas 
AuteurMessage
samir
Administrateur
avatar

Nombre de messages : 1837
Localisation : www.mathematiciens.tk
Date d'inscription : 23/08/2005

MessageSujet: problème N°112 de la semaine (17/12/2007-23/12/2007)   Lun 17 Déc 2007, 17:39


_________________
وتوكل على الحي الذي لا يموت وسبح بحمده
Revenir en haut Aller en bas
http://mathsmaroc.jeun.fr
samir
Administrateur
avatar

Nombre de messages : 1837
Localisation : www.mathematiciens.tk
Date d'inscription : 23/08/2005

MessageSujet: Re: problème N°112 de la semaine (17/12/2007-23/12/2007)   Lun 17 Déc 2007, 17:42

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

_________________
وتوكل على الحي الذي لا يموت وسبح بحمده
Revenir en haut Aller en bas
http://mathsmaroc.jeun.fr
ThSQ
Maître


Masculin Nombre de messages : 181
Age : 27
Date d'inscription : 04/10/2007

MessageSujet: Re: problème N°112 de la semaine (17/12/2007-23/12/2007)   Lun 17 Déc 2007, 18:30

Solution
solution de ThSQ
Bonjour Samir,

Quitte à translater le triangle on peut supposer que les coordonnées des sommets sont (0,0), (a,b) et (c,d).
A = a² + b²
B = c² + d²
C = (a-c)² + (b-d)²
Le triangle est équilatéral ssi A=B=C

Alors (A+B-C)² - A*B = 0 ce qui peut se réécrire 3*(a*c+b*d)² = (ad-bc)² ce qui est impossible car sqrt(3) est irrationnel et (a*c+b*d) != 0
Revenir en haut Aller en bas
neutrino
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 2684
Age : 25
Date d'inscription : 09/12/2006

MessageSujet: Re: problème N°112 de la semaine (17/12/2007-23/12/2007)   Lun 17 Déc 2007, 18:45

solution postée
(solution non trouvée)
Revenir en haut Aller en bas
selfrespect
Expert sup
avatar

Masculin Nombre de messages : 2514
Localisation : trou noir
Date d'inscription : 14/05/2006

MessageSujet: Re: problème N°112 de la semaine (17/12/2007-23/12/2007)   Mar 18 Déc 2007, 19:11

3id mobarek sa3id,
solution posted
solution de selfrespect
salut Mr samir:
soit ABC un tel triangle :
|sin(AB,AC)|=|AB.AC|/(||AB||||AC||) (/)
==> rac(3) est rationnel !
il n'existe po un tel triangle

a+
Revenir en haut Aller en bas
abdelbaki.attioui
Administrateur
avatar

Masculin Nombre de messages : 2547
Localisation : maroc
Date d'inscription : 27/11/2005

MessageSujet: Re: problème N°112 de la semaine (17/12/2007-23/12/2007)   Mar 18 Déc 2007, 20:25

Bonjour
Solution postée
solution d'abdelbaki.attioui
Dans un repère orthonormé, soit (ABC) un triangle équilatéral non réduit à un point.
Les points A, B et C ont (resp) pour coordonnées (a,a'), (b,b') et (c,c') .
Soient u=vecteur(AB) et v=vecteur(AC).
==> |det(u,v)|=||u||.||v||.|sin(u,v)|
==> racin(3)=2|(b-a)(c'-a')-(c-a)(b'-a')|/[(b-a)²+(b'-a')²]
Comme racine(3) est irrationnel, il n'existe pas alors de triangle non réduit à un point
dont les coordonnées sont tous entières.
A+
Bonne fête

A+

_________________
وقل ربي زد ني علما
Revenir en haut Aller en bas
http://mathsmaroc.jeun.fr/
Weierstrass
Expert sup
avatar

Masculin Nombre de messages : 2079
Age : 28
Localisation : Maroc
Date d'inscription : 03/02/2006

MessageSujet: Re: problème N°112 de la semaine (17/12/2007-23/12/2007)   Mar 18 Déc 2007, 20:53

postée
(solution non trouvée)
Revenir en haut Aller en bas
o0aminbe0o
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 963
Age : 27
Date d'inscription : 20/05/2007

MessageSujet: Re: problème N°112 de la semaine (17/12/2007-23/12/2007)   Mar 18 Déc 2007, 21:51

salam ;3id moubarak sa3ib
solution postée
ps(ne tenir compte que de la derniere reponse car l autre est trop longue)
solution de o0aminbe0o
supposons que A(a,x) , B(b,y) et C(c,z) vérifient les conditions de l'exo
on a tan(<ABC)=(det(vec(BA),vec(BC))/(vec(BA).vec(BC))
=((a-b)(z-y)-(x-y)(c-b))/((a-b)(x-y)+(c-b)(z-y))
{a,b,c,x,y,z}£IN^6 donc ((a-b)(z-y)-(x-y)(c-b))/((a-b)(x-y)+(c-b)(z-y))£Q
d autre part tan(<ABC)=rac(3) (ABC equilaterale)
donc rac(3)£Q CONTRADICTION
d où l inexistence de ces trois points vérifiant les conditions de l exo.


Dernière édition par le Mer 19 Déc 2007, 00:21, édité 1 fois
Revenir en haut Aller en bas
mohamed_01_01
Expert grade1
avatar

Masculin Nombre de messages : 465
Age : 27
Date d'inscription : 07/09/2007

MessageSujet: Re: problème N°112 de la semaine (17/12/2007-23/12/2007)   Mar 18 Déc 2007, 22:49

solution postee
solution de mohamed_01_01
en considere ABC qui verfier ces condition
on a
rac3/2=sin(AB;AC)=det(vec(AB);vec(AC))/(AB*AC)
=det(vec(AB);vec(AC))/AB²
det(vec(AB);vec(AC)=(xb-xa)(yx-ya)-(xc-xa)(yb-ya)£Z
AB²=(xa-xb)²+(yb-ya)²£N
donc rac3/2£Q d'ou la contradiction
Revenir en haut Aller en bas
http://maths312.forums-actifs.com/
abdellatif90
Féru


Masculin Nombre de messages : 34
Age : 27
Date d'inscription : 28/11/2007

MessageSujet: Re: problème N°112 de la semaine (17/12/2007-23/12/2007)   Mer 19 Déc 2007, 00:40

slt tt le monde

solution postée par mp
(solution non trouvée)
Revenir en haut Aller en bas
saadhetfield
Expert grade2
avatar

Masculin Nombre de messages : 348
Age : 28
Localisation : Tangier
Date d'inscription : 01/01/2007

MessageSujet: Re: problème N°112 de la semaine (17/12/2007-23/12/2007)   Mer 19 Déc 2007, 01:44

salam

solution postée
(solution non trouvée)
Revenir en haut Aller en bas
http://mathsmaroc.jeun.fr/
yassine-mansouri
Expert grade1
avatar

Masculin Nombre de messages : 426
Age : 27
Localisation : Tetouan
Date d'inscription : 18/02/2007

MessageSujet: Re: problème N°112 de la semaine (17/12/2007-23/12/2007)   Sam 22 Déc 2007, 19:47

salut tt le monde
3idkom mobarak
Solution postée
solution de mansouri
Revenir en haut Aller en bas
Kendor
Féru


Nombre de messages : 64
Localisation : Malakoff (92240)
Date d'inscription : 13/12/2005

MessageSujet: Solution au problème n°112 par Kendor   Dim 30 Déc 2007, 18:58

Salut!
Solution postée.
solution de kendor
Soient A, B, C de coordonn¨¦es enti¨¨res tels que (ABC) soit ¨¦quilat¨¦ral direct.
Soit t la translation de vecteur AO.
t(B)=B¡¯ et t(C)=C¡¯.
B¡¯ et C¡¯ sont de coordonn¨¦es enti¨¨res.
Soit r la rotation de centre O et d¡¯angle 60¡ã.
r(B¡¯)=C¡¯.
Si B¡¯ a pour coordonn¨¦es (x, y), alors C¡¯a pour coordonn¨¦es (x¡¯, y¡¯) telles que :
x¡¯=xcos60-ysin60
y¡¯=xsin60+ycos60

Donc x¡¯=x/2-y¡Ì3/2 et y¡¯=x¡Ì3/2+y/2
x¡¯ et y¡¯ ¨¦tant entiers,x et y v¨¦rifient :
x-y¡Ì3 et x¡Ì3+y entiers
Donc y¡Ì3 et x¡Ì3 entiers
Donc ¡Ì3 est rationnel, ce qui est faux.

Donc il n¡¯existe pas de triangle ¨¦quilat¨¦ral dont les sommets sont des entiers de Gauss.

Ciao,à +!
Kendor
Revenir en haut Aller en bas
Contenu sponsorisé




MessageSujet: Re: problème N°112 de la semaine (17/12/2007-23/12/2007)   

Revenir en haut Aller en bas
 
problème N°112 de la semaine (17/12/2007-23/12/2007)
Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Revenir en haut 
Page 1 sur 1
 Sujets similaires
-
» problème N°101 de la semaine (01/10/2007-07/10/2007)
» problème N°18 de la semaine (27/02/2006-05/03/2006 )
» semaine du 23 au 29 avril 2007
» Semaine du 8 au 14 janvier 2007.
» problème N°22 de la semaine (27/03/2006-02/04/2006 )

Permission de ce forum:Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Forum des amateurs de maths :: Problèmes de la semaine et du mois :: Problème de la semaine :: Géométrie-
Sauter vers: