APMO 04

Then prove:

Fourrier-D.Blaine a écrit:

Then prove:

(1+a/b)(1+b/c)(1+c/a) = (1+b/c+a/b+a/c)(1+c/a) = 2+c/a+b/c+b/a+a/b+c/b+a/c=S

a/b+a/c +1 = a/b+a/c +a/a >= 3a/(abc)^(1/3)
b/c+b/a + 1 = b/c+b/a+b/b >= 3b/(abc)^1/3
c/b+c/a+1 >= 3c/(abc)^1/3

<=> S>= 3 ( (a+b+c)/(abc)^1/3 -1) +2
S>= 3(a+b+c)/(abc)^1/3-1
l'inégalité devient 3(a+b+c)/(abc)^1/3-1 >= 2 +2(a+b+c)/(abc)^1/3
<=> (a+b+c)/(abc)^1/3 >= 3 <=> (a+b+c) >= 3(abc)^1/3 ce qui est vrai avec IAG
ben l'inégalité est très amusante et j'espere que ma réponse est juste
A+

neutrino a écrit:

Fourrier-D.Blaine a écrit:

Then prove:

(1+a/b)(1+b/c)(1+c/a) = (1+b/c+a/b+a/c)(1+c/a) = 2+c/a+b/c+b/a+a/b+c/b+a/c=S

a/b+a/c +1 = a/b+a/c +a/a >= 3a/(abc)^(1/3)
b/c+b/a + 1 = b/c+b/a+b/b >= 3b/(abc)^1/3
c/b+c/a+1 >= 3c/(abc)^1/3

<=> S>= 3 ( (a+b+c)/(abc)^1/3 -1) +2
S>= 3(a+b+c)/(abc)^1/3-1
l'inégalité devient 3(a+b+c)/(abc)^1/3-1 >= 2 +2(a+b+c)/(abc)^1/3
<=> (a+b+c)/(abc)^1/3 >= 3 <=> (a+b+c) >= 3(abc)^1/3 ce qui est vrai avec IAG
ben l'inégalité est très amusante et j'espere que ma réponse est juste
A+

slt neutrino !!!! bé 3la had l7sab S=c/a+b/c+b/a+a/b+c/b+a/c+3

iverson_h3 a écrit:

neutrino a écrit:

Fourrier-D.Blaine a écrit:

Then prove:

(1+a/b)(1+b/c)(1+c/a) = (1+b/c+a/b+a/c)(1+c/a) = 2+c/a+b/c+b/a+a/b+c/b+a/c=S

a/b+a/c +1 = a/b+a/c +a/a >= 3a/(abc)^(1/3)
b/c+b/a + 1 = b/c+b/a+b/b >= 3b/(abc)^1/3
c/b+c/a+1 >= 3c/(abc)^1/3

<=> S>= 3 ( (a+b+c)/(abc)^1/3 -1) +2
S>= 3(a+b+c)/(abc)^1/3-1
l'inégalité devient 3(a+b+c)/(abc)^1/3-1 >= 2 +2(a+b+c)/(abc)^1/3
<=> (a+b+c)/(abc)^1/3 >= 3 <=> (a+b+c) >= 3(abc)^1/3 ce qui est vrai avec IAG
ben l'inégalité est très amusante et j'espere que ma réponse est juste
A+

slt neutrino !!!! bé 3la had l7sab S=c/a+b/c+b/a+a/b+c/b+a/c+3

Relis b1 ma démo

neutrino a écrit:

iverson_h3 a écrit:

neutrino a écrit:

Fourrier-D.Blaine a écrit:

Then prove:

(1+a/b)(1+b/c)(1+c/a) = (1+b/c+a/b+a/c)(1+c/a) = 2+c/a+b/c+b/a+a/b+c/b+a/c=S

a/b+a/c +1 = a/b+a/c +a/a >= 3a/(abc)^(1/3)
b/c+b/a + 1 = b/c+b/a+b/b >= 3b/(abc)^1/3
c/b+c/a+1 >= 3c/(abc)^1/3

<=> S>= 3 ( (a+b+c)/(abc)^1/3 -1) +2
S>= 3(a+b+c)/(abc)^1/3-1
l'inégalité devient 3(a+b+c)/(abc)^1/3-1 >= 2 +2(a+b+c)/(abc)^1/3
<=> (a+b+c)/(abc)^1/3 >= 3 <=> (a+b+c) >= 3(abc)^1/3 ce qui est vrai avec IAG
ben l'inégalité est très amusante et j'espere que ma réponse est juste
A+

slt neutrino !!!! bé 3la had l7sab S=c/a+b/c+b/a+a/b+c/b+a/c+3

Relis b1 ma démo

ah ok dsl pr ce malentendu

abdellatif90 a écrit:

voila une autre methode
ona a+b+c/(a+b)>=3rac3(abc) d'ou a+b/(a+b+c)=<a+b/3rac3abc on la meme façon on deduit les autre

alors on trouve que 2(1+(a+b+c)/rac3(abc)=<8

don ondoit monter que A= (1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)>=8

on a A=2+a/b +b/a +a/c +c/a+ b/c + c/b

donc a/b+b/a>=2 et a/c+c/a>=2 et b/c+c/a>=2 alors
a/b +b/a+a/c+c/a+b/c+ c/a+2>=8 d'ou le resulta

tu pe mieux eclaircir??§§

abdellatif90 a écrit:

voila une autre methode
ona a+b+c/(a+b)>=3rac3(abc) d'ou a+b/(a+b+c)=<a+b/3rac3abc on la meme façon on deduit les autre

alors on trouve que 2(1+(a+b+c)/rac3(abc)=<8

don ondoit monter que A= (1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)>=8

on a A=2+a/b +b/a +a/c +c/a+ b/c + c/b

donc a/b+b/a>=2 et a/c+c/a>=2 et b/c+c/a>=2 alors
a/b +b/a+a/c+c/a+b/c+ c/a+2>=8 d'ou le resulta

slt dsl dfe te contfredire ms cfaux car ona avec l'IAG (a+b+c)/V3(abc)>=3 donc2*((a+b+c)/V3(abc)+1)>= 8

iverson_h3 a écrit:

abdellatif90 a écrit:

voila une autre methode
ona a+b+c/(a+b)>=3rac3(abc) d'ou a+b/(a+b+c)=<a+b/3rac3abc on la meme façon on deduit les autre

alors on trouve que 2(1+(a+b+c)/rac3(abc)=<8

don ondoit monter que A= (1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)>=8

on a A=2+a/b +b/a +a/c +c/a+ b/c + c/b

donc a/b+b/a>=2 et a/c+c/a>=2 et b/c+c/a>=2 alors
a/b +b/a+a/c+c/a+b/c+ c/a+2>=8 d'ou le resulta

slt dsl dfe te contfredire ms cfaux car ona avec l'IAG (a+b+c)/V3(abc)>=3 donc2*((a+b+c)/V3(abc)+1)>= 8

Oui c'est vrai

]

abdellatif90 a écrit:

slt prend a=b=c=1

????!!!

dsl tu as raison j'ai inverser les signe

Fourrier-D.Blaine a écrit:

Then prove:

L'inégo <==> S = [ (a+b)/c ] + [ (b+c)/a ] + [ (a+c)/b ] >= 2(a+b+c)/(abc)^(1/3)
or par chebychev : S >= (2/3)(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) >= (2/3)(a+b+c)(3(1/abc)^(1/3) = 2(a+b+c)/(abc)^(1/3)
d'où le résultat !!