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 continuité

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Weierstrass
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Weierstrass

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MessageSujet: continuité   continuité EmptyLun 24 Déc 2007, 01:11

soient f et g deux fonctions définies de R*+ dans R tel que x--> f(x) et croissante et g x--> f(x)/x est décroissante

montrer que f et g sont continues
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hamzaaa
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MessageSujet: Re: continuité   continuité EmptyLun 24 Déc 2007, 12:42

Très simple: vient du fait qu'une fonction monotone admet une limite partout...

Il suffit alors de comparer la limite à l'image en un point...
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Weierstrass
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MessageSujet: Re: continuité   continuité EmptyLun 24 Déc 2007, 12:53

hamzaaa a écrit:
Très simple: vient du fait qu'une fonction monotone admet une limite partout...

Il suffit alors de comparer la limite à l'image en un point...

oui justement c'est pour les lycéens
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hamzaaa
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MessageSujet: Re: continuité   continuité EmptyLun 24 Déc 2007, 13:23

Quoique il serait plus intéressant pour eux de justement prouver l'existence des limites avant de continuer l'exercice, même si c'est assez basique Smile
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laklakh el houssine
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MessageSujet: Re: continuité   continuité EmptyMar 08 Jan 2008, 22:40

soit x0 un réel strictement positif . montrons que lim f(x)= f(x0)
en x0 . pour tout x>x0 on f(x) >=f(x0) car f est croissante . donc limf(x) >=f(x0) en x0 + de meme on montre que limf(x) <=f(x0) en x0 - reste à montrer que la limite existe en x0 . posons l= limf(x) en x0 + et l'=limf(x) en x0 - et montrons que l = l'. on a aussi pour tout x>x0 : ( f(x) / x ) <= (f(x0)/x0) or lim ( f(x) / x ) = (l/x0) en x0 + donc l <=f(x0) donc l=f(x0) et avec toute aisance, on montre que l' = f(x0) d'où f est continue en x0 . il est évident de dire que g est continue sur R+* comme rapport de fonctions continues.
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