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 Exo d'arithmetique terminal

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Weierstrass
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MessageSujet: Exo d'arithmetique terminal   Exo d'arithmetique terminal EmptyMer 26 Déc 2007, 13:32

bonjour

voici un exercice pour vous les lycéens

montrer que kk soit n de N* , kk soit p premier

p\n^p + n(p-1)!
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kalm
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MessageSujet: Re: Exo d'arithmetique terminal   Exo d'arithmetique terminal EmptyMer 26 Déc 2007, 19:50

j vu que tu aime l'algebre donc
c facile de savoir que (Z/pZ,+,*) est corp donc tt element de Z/pZ admettent un inverse donc
bar(1*2*3***(p-1))=-bar1
donc (p-1)!=-1[p] equivalent a (p-1)!+1=[p]
on sait que a l'aide du theoreme de fermat que n^(p-1)-1=0[p]
car pqdc(n,p)=1
donc n^(p-1)-1+(p-1)!+1= n^(p-1)+(p-1)!=0[p]
=>n^p+n(p-1)!=0[p]
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Weierstrass
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MessageSujet: Re: Exo d'arithmetique terminal   Exo d'arithmetique terminal EmptyMer 26 Déc 2007, 21:02

kalm a écrit:
j vu que tu aime l'algebre donc
c facile de savoir que (Z/pZ,+,*) est corp donc tt element de Z/pZ admettent un inverse donc
bar(1*2*3***(p-1))=-bar1
donc (p-1)!=-1[p] equivalent a (p-1)!+1=[p]
on sait que a l'aide du theoreme de fermat que n^(p-1)-1=0[p]
car pqdc(n,p)=1
donc n^(p-1)-1+(p-1)!+1= n^(p-1)+(p-1)!=0[p]
=>n^p+n(p-1)!=0[p]

?
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kalm
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MessageSujet: Re: Exo d'arithmetique terminal   Exo d'arithmetique terminal EmptyMer 26 Déc 2007, 21:11

on fait une bar en haut des elements de Z/nZ
_ _
0 1 ..... =bar0 bar1 ....
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Weierstrass
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MessageSujet: Re: Exo d'arithmetique terminal   Exo d'arithmetique terminal EmptyMer 26 Déc 2007, 21:15

d'ou vient le - scratch
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Bison_Fûté
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MessageSujet: Re: Exo d'arithmetique terminal   Exo d'arithmetique terminal EmptyMer 26 Déc 2007, 21:19

BSR à Vous Deux !!
<<j vu que tu aime l'algebre donc
c facile de savoir que (Z/pZ,+,*) est corp donc tt element de Z/pZ admettent un inverse donc
bar(1*2*3***(p-1))=-bar1 >>

p étant premier , {(Z/pZ)*;*} est un groupe multiplicatif
p étant IMPAIR , alors (p-1) est PAIR chaque élément de (Z/pZ)*
peut etre APPARIE avec son inverse pour * et en fait le produit
proposé par Kalm :
bar(1*2*3*........*(p-1)) est égal à bar(1) et NON -bar(1)
A+ BOURBAKI
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yassine-mansouri
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MessageSujet: Re: Exo d'arithmetique terminal   Exo d'arithmetique terminal EmptyMer 26 Déc 2007, 21:27

p\n^p + n(p-1)!


si p/n ==> ça condui directement au resultat
si p^n=1 alors selon fermat n^(p-1)=-1[p]
et selon wilson (p-1)!=1[p]
dou n^(p-1)+(p-1)!=0[p]
....
jespere que ça sera juste


Dernière édition par le Mer 26 Déc 2007, 21:31, édité 1 fois
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kalm
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MessageSujet: Re: Exo d'arithmetique terminal   Exo d'arithmetique terminal EmptyMer 26 Déc 2007, 21:28

bah moi j demontrer c elle de wilson
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Weierstrass
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MessageSujet: Re: Exo d'arithmetique terminal   Exo d'arithmetique terminal EmptyMer 26 Déc 2007, 21:31

BOURBAKI a écrit:
BSR à Vous Deux !!
<<j vu que tu aime l'algebre donc
c facile de savoir que (Z/pZ,+,*) est corp donc tt element de Z/pZ admettent un inverse donc
bar(1*2*3***(p-1))=-bar1 >>

p étant premier , {(Z/pZ)*;*} est un groupe multiplicatif
p étant IMPAIR , alors (p-1) est PAIR chaque élément de (Z/pZ)*
peut etre APPARIE avec son inverse pour * et en fait le produit
proposé par Kalm :
bar(1*2*3*........*(p-1)) est égal à bar(1) et NON -bar(1)
A+ BOURBAKI

voila pourtant je me demandais d'ou venait le -
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Bison_Fûté
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MessageSujet: Re: Exo d'arithmetique terminal   Exo d'arithmetique terminal EmptyMer 26 Déc 2007, 21:34

Re-BSR Mahdi !!
<< voila pourtant je me demandais d'ou venait le 1 >>
Tu veux dire le -1 !!
A+ LHASSANE
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MessageSujet: Re: Exo d'arithmetique terminal   Exo d'arithmetique terminal EmptyMer 26 Déc 2007, 21:35

BOURBAKI a écrit:
Re-BSR Mahdi !!
<< voila pourtant je me demandais d'ou venait le 1 >>
Tu veux dire le -1 !!
A+ LHASSANE

oui
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kalm
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MessageSujet: Re: Exo d'arithmetique terminal   Exo d'arithmetique terminal EmptyMer 26 Déc 2007, 21:41

bar1*bar(p-1)=-bar1
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MessageSujet: Re: Exo d'arithmetique terminal   Exo d'arithmetique terminal EmptySam 29 Déc 2007, 01:16

je profite de ce sujet pour vous proposer cet exo :

montrer que


p est premier <==> (p-1)!-1 = 0 [p]

theoreme de WILSON
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o0aminbe0o
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MessageSujet: Re: Exo d'arithmetique terminal   Exo d'arithmetique terminal EmptySam 29 Déc 2007, 21:47

pour la premiere implication cest facile
(p-1)!-1 = 0 [p] => (p-1)!-kp=1 avec k entier
=> pgcd(p,(p-1)!)=1
=> pgcd(p,p-1)=1 ..............et pgcd(p,2)=1
=> p premier
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MessageSujet: Re: Exo d'arithmetique terminal   Exo d'arithmetique terminal EmptySam 29 Déc 2007, 22:18

effectivement la 1ere implication était deja demontré , restait la reciproque que tu viens de faire Bravo!
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MessageSujet: Re: Exo d'arithmetique terminal   Exo d'arithmetique terminal EmptyDim 30 Déc 2007, 14:08

Spoiler:
 
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