- huntersoul a écrit:
- salut voici un exo d'applications démontrez
f bijective de E vers F <=> f(A)bar=f(Abar)
Supposons F bijective de E vers F.
Soit A une partie quelconque de E, et prenons B=f(A)bar et C=f(Abar)
Dans la suite, je noterais l'union avec +
On a F=f(A)+B et F=f(A+Abar)=f(A)+C
Vu que f(A)interB=vide et pareil pour C, on déduit B=C.
Inversement, montrons que f est bijective.
Injectivité: soit x et y différents de E donc y appartient à {x}bar
donc f(y) appartient à f({x}bar) = f({x})bar d'ou f(y) différent de f(x)
f est donc injective.
Surjectivité: Soit x de E alors f({x}bar) = f({x})bar=F\f({x})=F\{f(x)}
Tout point y de F\{f(x)} est donc atteint par l'application f, et il en est de même de f(x), d'ou la surjectivité.
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