equation f........

determiner toute les fonctions f definie dans R+ tel que :
x^2(f(x)+f(y))=(x+y)(f(f(x)y))

si f(0)#0, alors pour x=0 et y/f(0) on a :
0=yf(y) donc f(y)=0 pour tout y#0

si f(0)=0, alors pour y=0 on a :
x²f(x)=0, donc f(x)=0 pour tout x

Supposons f(0) diff. de 0.
En faisant x=0 on obtient f( f(0)y )=0 pour tout y non nul, et on déduit que f est nulle sur R^*. Mais alors en faisant x diff. de 0 et y=0, on obtient x^2f(0) = x f(0) ce qui est absurde car on a supposé f(0) non nul.

Donc f(0)=0. En faisant y=0 on obtient x^2f(x)=0, ce qui montre que f est nulle sur R^*. Finalement f est nulle.

Réciproquement on vérifie que la fonction nulle vérifie l'équation.

Conclusion : La fonction nulle est l'unique solution.