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 exo produit scalaire

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El maspixho
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MessageSujet: exo produit scalaire   exo produit scalaire EmptyMer 02 Jan 2008, 16:45

prouvez que :
(a+b)<= (1+a²)(1+b²)


Dernière édition par le Ven 04 Jan 2008, 17:23, édité 1 fois
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badr_210
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badr_210

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MessageSujet: Re: exo produit scalaire   exo produit scalaire EmptyMer 02 Jan 2008, 18:47

Salut !
tout d'abord a et b sont dans quelle ensemble.
je pense que tu as oublié "²"si c'est le cas la question sera comme suit:
prouvez en utilisant cauchy shwartz que :
(a+b)²<= (1+a²)(1+b²)
c une application directe du théoréme de cauchy shwartz
(a²+1²)(1²+b²)>=(a+b)²
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El maspixho
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MessageSujet: Re: exo produit scalaire   exo produit scalaire EmptyMer 02 Jan 2008, 22:43

salut !
l'ensemble est R , la consigne est juste ce n'est po (a+b)²
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laklakh el houssine
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MessageSujet: Re: exo produit scalaire   exo produit scalaire EmptyMer 02 Jan 2008, 23:19

soit le vect u de coordonnées ( a,1) et le vect v de coordonnées (1,b) d'après l'inégalité de cauchy shwartz on a : ( u.v)²<=//u//² //v//² d'où le résultat.
rectifie donc ta question ou tu reçois un contre exemple!
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badr_210
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MessageSujet: Re: exo produit scalaire   exo produit scalaire EmptyJeu 03 Jan 2008, 09:56

Bjr!
normalement le carré est essanciel pour l'utilisation du théorème de cauchy shwartz , néomoins l'inégalité reste correcte apparemment, à part si Mr LAKLAKH nous fait parraître un contre exemple
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El maspixho
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MessageSujet: Re: exo produit scalaire   exo produit scalaire EmptyJeu 03 Jan 2008, 15:49

Bjr!!
merci Mr LAKLAKH et badr_210 pour vos interventions ,mais la question est juste , d'ailleurs g reussi à la resoudre en utilisant la disjonction des cas(a+b<0 , 0<a+b<1, a+b>1) pr les 2 premiers cas c facile de prouver l'inégalité et pour le dernier g utilisé l'inégalité de cauchy shwartz on a : ( u.v)²<=//u//² //v//² ça donne (a+b)²<= (1+a²)(1+b²) puisque a+b>1 alors (a+b)²>a+b .on deduit alors le resultat: (a+b)<= (1+a²)(1+b²)
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laklakh el houssine
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MessageSujet: Re: exo produit scalaire   exo produit scalaire EmptyVen 04 Jan 2008, 14:36

c'est bien d'accord mr maspixho mais dans tes deux premiers cas cauchy shwartz n'intervient pas à part si tu utilises son inégalité avec le carrée. de toute façon , l'inégalité est démontrée mais çà sera mieux de garder la question sans citer C. SHWARTZ.
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El maspixho
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MessageSujet: Re: exo produit scalaire   exo produit scalaire EmptyVen 04 Jan 2008, 17:22

Bjr!
oui vous avez raison mr laklakh je vais modifier l'énoncé
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laklakh el houssine
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MessageSujet: Re: exo produit scalaire   exo produit scalaire EmptySam 05 Jan 2008, 13:44

suivant cet énoncé, on peut répondre de cette manière : pour tous a et b de R on a : (1+a²)(1+b²) - (a+b) = 1+a²+b²+a²b²-a-b = (a-1/2 )² +(b-1/2 )² + 1/2 +a²b² >0 d'où (a+b) < (1+a²)(1+b²)
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