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4 participants
AuteurMessage
abdelbaki.attioui
Administrateur
abdelbaki.attioui


Masculin Nombre de messages : 2564
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Date d'inscription : 27/11/2005

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MessageSujet: valeur absolue   valeur absolue EmptyLun 07 Jan 2008, 15:51

Montrer que qqs x,y,z€IR :
|x+y|+|x+z|+|y+z|=<|x|+|y|+|z|+|x+y+z|
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ThSQ
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MessageSujet: Re: valeur absolue   valeur absolue EmptyLun 07 Jan 2008, 18:05

C'est l'inégalité de Hlawka, introuvable si on connait pas l'astuce !
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saadhetfield
Expert grade2
saadhetfield


Masculin Nombre de messages : 348
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MessageSujet: Re: valeur absolue   valeur absolue EmptyLun 07 Jan 2008, 18:22

s


Dernière édition par le Ven 18 Jan 2008, 14:35, édité 1 fois
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abdelbaki.attioui
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abdelbaki.attioui


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MessageSujet: Re: valeur absolue   valeur absolue EmptyMar 08 Jan 2008, 16:01

ThSQ a écrit:
C'est l'inégalité de Hlawka, introuvable si on connait pas l'astuce !

Effectivement, mais l'inégalité demandée ne necessite pas une astuce particulière.
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elhor_abdelali
Expert grade1
elhor_abdelali


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MessageSujet: Re: valeur absolue   valeur absolue EmptyVen 18 Jan 2008, 11:56

J'utilise deux propriétés assez faciles à vérifier :

( Like a Star @ heaven 1) Pour tous réels a et b on a |a|+|b|=max(|a+b|,|a-b|) .
( Like a Star @ heaven 2) Pour tous réels a , b et c on a max(a,b)+max(a,c)>=a+max(b,c) .

Alors pour tous réels x , y et z on a :
|x|+|y|+|z|+|x+y+z|=max(|x+y|,|x-y|)+max(|x+y+2z|,|x+y|)
d'où
|x|+|y|+|z|+|x+y+z|>=|x+y|+max(|x+y+2z|,|x-y|)
c'est à dire
|x|+|y|+|z|+|x+y+z|>=|x+y|+|y+z|+|z+x| farao (sauf erreur bien entendu)

(on peut même caractériser le cas d'égalité si on veut)
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