Connexité.

Soit P(z) une fonction polynomiale complexe ayant au moins deux zéos distincts.
Pour a réel positif,on note S(a)={z/|P(z)|<=a}.
(*)Montrer que toute composante connexe de S(a) rencontre S(0).
(*)Montrer qu'il existe un unique réel c strictement positif tel que: S(a) non connexe <=> a<c .
(*)Montrer que c=max{|P(z)|/P'(z)=0}. (sauf erreur)

Cet exo. est absolument magnifique, je lutte encore avec ce truc; mais il est vraiment très très dur.

Cet exercice est vraiment terrible. Quand tu peux, envoie moi une solution s'il te plaît.

J'ai réussi à faire le a) et une partie de b) : pour le a) supposons que K est une composante connexe (clairement compacte) qui ne contient pas de zéros. On définit f(z)=1/P(z) sur cette composante. Il s'agit d'une fonction holomorphe dans ce domaine compact et elle atteint quelque part son maximum. Par holomorphie elle doit l'atteindre sur la frontière de l'ensemble c'est à dire dans un point où |P(Z)|=a. Donc le maximum est 1/a. Par définition le minimum est aussi 1/a et donc cette fonction est constante sur la composante connexe, ce qui est visiblement impossible.
Pour b), j'ai montré avec des calculs de folie que si a est petit elle n'est pas connexe et si a est grand elle est connexe.
Après, il n'y a plus rien qui marche...

Bonjour mathman;
Je te remercie pour l'intérét que tu montres à cet exercice.

Pour le a) il me semble qu'il te faut d'abord prouver qu'une composante connexe K de S(a) est d'intérieur non vide.
( sinon K serait totalement incluse dans la frontière de S(a) et par conséquent on aurait |P(z)|=a pour tout z de K )
Indications:
Personnellement ;
(*)j'ai fait appel aux deux ensembles:
F(a)={z / |P(z)|=a} et I(a)={z / |P(z)|<a}
(*)j'ai montré ( en utilisant le principe du maximum ) qu'il s'agit respectivement de la frontière et de l'intérieur de S(a).
(*)j'ai montré ( en utilisant le principe du maximum ) que toute composante connexe de S(a) qui rencontre I(a)
rencontre nécéssairement S(0).
(*)et finalement j'ai montré ( en utilisant l'expression polynomiale de P )
que toute composante connexe de S(a) rencontre I(a) .

Pour le b) tu peux considérer l'ensemble:
C={a>0 / S(a) connexe}
(*)il est facile de voir que c'est une partie non vide de R+
c = inf C
(*) c>0 ( tu peux effectivement determiner en fonction du module du coefficient dominant de P et de la plus petite
distance entre ses zéros un réel strictement positif a tel que S(a) n'est pas connexe ).
(*) C est un intervalle. ( utiliser la question précédente ).
(*) C=[c,+oo[ ( pour voir que S(c) est connexe utiliser le fait qu'il est intersection décroissante de compacts connexes ).

Pour la dernière question j'avoue que je cherche encore

Bonsoir Elhor,

j'ai repensé à ce joli problème aujourd'hui.

Pour continuer ce que j'avais fait :
le nombre de composantes connexes est toujours décroissant.
On argumente comme pour a), et ça donne b).
(au passage, je n'ai finalement pas besoin de trop de calculs... S(0) n'est pas connexe, ce qui donne par continuité la proposition pour a petit et en reliant les zéros de P par des courbes et en choisissant a suffisament grand, on trouve la proposition pour a grand)

Et hmm, intuitivement je sais pourquoi c) est vrai.
En fait, les points où P'(x)=0 sont les points où les deux composantes "fusionnent".

Pour le c) On pourra utiliser le théorème d'inversion locale.

En fait , il s'agit d'un revêtement ramifié de degré fini ( les points critiques de P sont en nombres finis )

abdelbaki.attioui a écrit:

Pour le c) On pourra utiliser le théorème d'inversion locale.

Hmm je n'ai pas encore réfléchi à "comment écrire une preuve complète", mais ça pourrait être utile.

abdelbaki.attioui a écrit:

En fait , il s'agit d'un revêtement ramifié de degré fini ( les points critiques de P sont en nombres finis )

Hmm oui.

Soit K={z / P'(z)=0} les points critiques de P.
Il suffit de comparer K et S(c) au moyen de l'homéomorphisme local
P de C\K dans C