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 problème N°115 de la semaine (07/01/2008-13/01/2008)

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samir
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MessageSujet: problème N°115 de la semaine (07/01/2008-13/01/2008)   Lun 07 Jan 2008, 20:39


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samir
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MessageSujet: Re: problème N°115 de la semaine (07/01/2008-13/01/2008)   Lun 07 Jan 2008, 20:44

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

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mohamed_01_01
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MessageSujet: Re: problème N°115 de la semaine (07/01/2008-13/01/2008)   Lun 07 Jan 2008, 20:48

solution postee
voici la solution de mohamed01_01
f(x+y)<=f(x)+f(y)<=x+y
en donne x=y=0 f(0)<=2f(0)<=0 ===> 0<=f(0) et f(0)<=0 ===> f(0)=0
en donne x=-y ===>f(0)<=f(x)+f(-x)<=0 ==> f(x)=-f(-x) donc f est impaire
pour tt x£R- f(x)<=x est puisque f est impaire donc Cf (motamtil binisbati li markz lma3lm) donc f y=x va etre sous Cf pour x£[0;+00[
donc pour tt x£R+ f(x)>=x et on sais que pour tt x£R f(x)<=x donc pour tt x£R+ f(x)=x
x£R+ ==>-x£R- et f(-x)=-f(x) donc f(-x)=-x donc pour tt x£R f(x)=x
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iverson_h3
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MessageSujet: Re: problème N°115 de la semaine (07/01/2008-13/01/2008)   Lun 07 Jan 2008, 20:58

slt !!!!
solution postée
@+
solution non trouver
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Conan
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MessageSujet: Re: problème N°115 de la semaine (07/01/2008-13/01/2008)   Lun 07 Jan 2008, 21:06

Solution postée
par mp
a+

voici la solution de conan
1)f(x) =< x

2)f(x+y) =< f(x)+f(y)



-pour le cas f(x+y) = f(x) + f(y) c’est la fonction de Cauchy , et on peut facilement trouver que c’est une fonction linéaire dans les ensemble N , Z ,Q puis en prolengeant vers R, donc il existe a de R tel que f(x) = ax. Et selon 1) on aura ax=<x



si x>= 0 => a=<1

si x=< 0 => a>= 1



-pour le cas f(x+y) < f(x) + f(y)

=> pour tout (x ;y)€R² f(x+y)-f(x) < f(y) =< y

Soit f une solution éventuelle n>0 (entier) et (a,b) de R² i€(0,1…..n)

On pose a_i = a + i(b-a)/n ,

on a : a0 = a et a_(i+1)-a_i = (b-a)/n



selon l’inégalité triangulaire : ( la sigma est de 0 vers n-1)



f(a)-f(b) =<sigma [f(a_i)-f(a_(i+1))] = sigma[ f(a_(i+1)+(a-b)/n)-f(a_(i+1))]

=< sigma (a-b)/n = a-b



Alors quelque soit (x;y) € R² f(x)-f(y) < x-y d’où f est croissante



Puis que f(x) =< f(x) + f(0) alors f(0) >= 0



D’où f a le méme signe que x sur R+



Et puis que f(x) =< x donc f(0)=< 0 d’où f(0) = 0



Alors f a le méme signe de x aussi sur R-



Alors de ce qu’on a trouvé , qq sot (x ;y) de R² f(x) < x + f(y)-y (1)

si on pose x<0<y on aura f(x) < 0 < f(y)



pour x=y on trouvera f(x)-x < f(x)-x contradiction
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Alaoui.Omar
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MessageSujet: Re: problème N°115 de la semaine (07/01/2008-13/01/2008)   Lun 07 Jan 2008, 23:22

Solution postée
voici la solution de alaoui.omar
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mhdi
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MessageSujet: Re: problème N°115 de la semaine (07/01/2008-13/01/2008)   Mar 08 Jan 2008, 09:11

Solution postée
voici la solution de mhdi
f(x)<=x  f(0)<=0
f(x+0)=f(x)
puisque f(x+y)<=f(x)+f(y), f(x+0)=f(x)<= f(0) + f(x)
 f(0)>=0
Et puisque f(0)<=0, f(0)=0
0=f(0) = f(x-x) <= f(x) + f(-x)
 f(-x)>=-f(x)
f(-x)<=-x
Donc –f(x)<=f(-x)<=-x
 f(x)>=x
Or f(x)<=x
 f(x)=x
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kaderov
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MessageSujet: Re: problème N°115 de la semaine (07/01/2008-13/01/2008)   Mar 08 Jan 2008, 11:48

Salut tout le monde.
Aidokom moubarak said.
Solution postée.
voici la solution de Kaderov
1) on a f(0)<=0 et pour x=y=0 on a f(0)<=2f(0) => f0)>=0 donc f(0)=0.
2) on a f(x)<=x et f(-x)<=-x en sommant f(x)+f(-x)<=0
Prendre x+y=0 donne 0=f(0)<=f(x)+f(-x) donc f(x)=-f(-x).
3) f(-x)<=-x => -f(x)<=-x => f(x)>=x et donc f(x)=x
Reciproquement f(x)=x verifie bien l'ennoncé.
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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: problème N°115 de la semaine (07/01/2008-13/01/2008)   Mar 08 Jan 2008, 16:16

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
C'est facile de voir que f(0)=0.
qqs x, 0=f(x-x)=<f(x)+f(-x)=<f(x)-x=<0
==> f(x)=x qqs x
A+

A+

_________________
وقل ربي زد ني علما
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Kendor
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MessageSujet: Solution au problème de la semaine n°115 par Kendor   Mar 08 Jan 2008, 19:05

Bonjour!
Solution postée.
voici la solution de Kendor
f(0)≤0
De plus f(x)=f(x+0) ≤f(x) +f (0)
Donc 0≤f (0)
Donc f (0)=0

0=f (0)=f(x-x) ≤f(x) +f (-x) ≤x+ (-x)
Donc f(x) +f (-x)=0
Donc f est impaire.

Enfin, f (-x) ≤-x
Or f (-x)=-f(x)
Donc –f(x) ≤-x
Donc x≤f(x) ≤x
Donc f(x)=x.

Finalement la seule fonction convenable est idIR : x->x.
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neutrino
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MessageSujet: Re: problème N°115 de la semaine (07/01/2008-13/01/2008)   Mar 08 Jan 2008, 19:40

solution postéé Crying or Very sad
voic la solution de neutrino


d'après (**): f(x+y) <= f(x)+f(y)

d'après (*) : f(y)<=y ==> f(x+y)<= f(x)+y $

on fait un changement de variable ,défini par : x=x+y ,y=-y,donc selon (**) : f(x)<=f(x+y)+f(-y) <=> f(x)-f(-y)<=f(x+y)
or d'après (*) , f(-y)<=-y <=> -f(-y)>=y
càd: f(x)+y<=f(x+y) $$
d'après $ et $$ : f(x)+y <= f(x+y) <= f(x)+y , ==> f(x+y)=f(x)+y
pour x=0 , f(y)=f(0)+y
or d'après (**) f(x) <= f(0)+f(x) <=> f(0)>=0 , mais selon (*) : f(0)<=0 alors f(0)=0
donc : f(y)=f(0)+y=y
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L
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MessageSujet: Re: problème N°115 de la semaine (07/01/2008-13/01/2008)   Mar 08 Jan 2008, 20:47

solution postee
voici la solution de L
pourx=y=0 on a
f(0)<=0 et f(0)>=0==>f(0)=0
pour x=-y on a
0<=f(x)+f(-x) et on sait que f(-x)<=-x et f(x)<=x pourtoutx de R d'ou en sommant on obtien
f(x)=f(-x)=0==>f(x)=-f(-x)
on sait que f(x)<=x et f(-x)<=-x ==>f(x)<=x etf(x)>=x pour tout x de R==>
qqsoit x de R f(x)=x
j'espere que c'estcorrect
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mni
Maître
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MessageSujet: Re: problème N°115 de la semaine (07/01/2008-13/01/2008)   Mar 08 Jan 2008, 21:09

solution
f(x)=<x et f(x+y)=<x+y
cas1 les fonctions qui realisent f(x)< et f(x+y)<x+y
f(0)<0 et f(x)<fx)+f(0)
f(0)<0 et f(0)>0 absurde
donc il nya aucune fonction qui realisent la 1er cas

cas2 f(x)=<x et f(x+y)<f(x)+f(y)
==>f(0)=0==>f(x)<f(x)==>f(0)<0 absurde
donc il nya aucune fonction qui realisent ce cas
cas3 f(x)<x et f(x+y)<=f(x)+f(y)
la mm methode on deduit quil nya aucune fonction qui realisnt celle la

cas 4 f(x)=x et f(x+y)<f(x)+f(y)
==>f(0)=0 et f(0)>0 absurde
donc il nya aucune fonction qui realise ce cas

cas5 f(x)<x et f(x+y)=f(x)+f(y)
f(0)<0 et f(0)=0 absurde

cas 6 f(x)=x et f(x+y)=f(x)+f(y)

f(x)=x realise ce systeme

donc f(x)=x est la seule fonction qui realise la propriété suivante

f(x)=<x
et f(x+y)<=f(x)+f(y)
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ThSQ
Maître


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MessageSujet: Re: problème N°115 de la semaine (07/01/2008-13/01/2008)   Mer 09 Jan 2008, 12:37

Solution postée
voici la solution de ThSQ
1) x=y=0 : f(0) <= 2f(0) et donc f(0) >= 0, comme f(0) <= 0, f(0) = 0

x=-y : x >= f(x) >= -f(-x) >= - (-x) = x : f(x) = x
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amine-b
Féru
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MessageSujet: Re: problème N°115 de la semaine (07/01/2008-13/01/2008)   Mer 09 Jan 2008, 20:15

solution postée
voici la solution d'amine

A+
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badr_210
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MessageSujet: Re: problème N°115 de la semaine (07/01/2008-13/01/2008)   Mer 09 Jan 2008, 22:19

Slt à tous !!
Solution postée
Soient x, y £ R

· f(x+y)=<f(x) +f(y) èf(x)=<f(x) +f (0)

· èf (0)>=0



· f(x)=<x èf (0)=<0



· donc f (0)=0



· par conséquent, pour tout x de R, f(x)=ax^n ou f(x)=0 .



tels que a £ R , et n £ N



· f(x)=0 vérifie les données



· f(x)=ax^n demande l’étude de quatre cas selon a et n



· pour a>0 et n=2k / k£N-{0 ;1} on a une contradiction avec les données



· Pour les quatre cas restants on trouve tjrs une contradiction



· Sauf pour f(x)=x



· Donc tout les fonctions qui vérifie les données sont : f(x)=0 et f(x)=x
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abdou20/20
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MessageSujet: Re: problème N°115 de la semaine (07/01/2008-13/01/2008)   Jeu 10 Jan 2008, 12:46

bonjour bonne annee
solution postee
solution de abdou 20/20
dans le cas de lgalite on aura f(x)=x est une solution
si les inegalite etait strict on aura f(x)< x
et f(x+y)< f(x)+f(y)
donc f(0)< 0
ce qui done en utilisqnt lq deuxieme inegqlite
f(x+0)<f(x)+f(0)<f(x)+0
ce qui donne f(x)<f(x)
ce qui est impossible donc la seule solution est f(x)=x
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selfrespect
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MessageSujet: Re: problème N°115 de la semaine (07/01/2008-13/01/2008)   Jeu 10 Jan 2008, 15:18

Bonjour et bonne année !
solution postée.
voici la solution de selfrespect

>Pour (0,0) on tire f(0)=0.
>Pour (x,-x) on a : f(x)+f(-x)>=0
==> -x=<-f(x)=<f(-x)=<-x
==> f=IdR
☺ Reciproquement l'identité convient et c'est la seule alors.
A+
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saadhetfield
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MessageSujet: Re: problème N°115 de la semaine (07/01/2008-13/01/2008)   Jeu 10 Jan 2008, 15:38

salut
solution postée
voici la solution
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badr
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MessageSujet: Re: problème N°115 de la semaine (07/01/2008-13/01/2008)   Ven 11 Jan 2008, 12:52

solution postee
voici la solution de badr
f(x)<=x et f(x+y)<=f(x)+f(y)<=x+y

f(0)<= et f(0)>=0==>f(0)=0
qq soit x>=0 -x<=0 donc f(-x)<=f(0) donc f est croissante sur R et f(0)=0


f(x)<=f(x)<=x==>f(x)=x verifit l'hpothyse

f;R-->R
f=Id
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callo
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Localisation : paris
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MessageSujet: Re: problème N°115 de la semaine (07/01/2008-13/01/2008)   Ven 11 Jan 2008, 16:19

slt,
soluce postée.
voici la solution de callo
on peut facilement verifier que f(0)=0 (2f(0) sup à f(0) donc f(0) est positif et on sait que 0 est sup à f(0) d'ou f(0)=0)
on pose y=-x
donc f(x)+f(-x) est sup à f(0)=0 ce qui implique que f(x) est sup à -f(-x)

puisque f(x) est inf à x donc f(-x) est inf à -x alors -f(-x) est sup à x

on deduit que f(x) est comprise entre x et x

donc f(x)=x pour tt x de IR.

(inf=inferieur , sup=superieur ) dsl pour ça car j'utilise un clavier ou je ne retrouve pas les touches voulues pour sup et inf.

a tte
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radouane_BNE
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Date d'inscription : 11/01/2006

MessageSujet: Re: problème N°115 de la semaine (07/01/2008-13/01/2008)   Ven 11 Jan 2008, 18:13

salut solution postée
voici la solution de boukharfane radouane
on peut montrer par une récurrence simple que f(nx)=<nf(x)=<nx.
et on a f(0)=0 => 0=<f(x)+f(-x) =>f(nx)>=nx d'où f(nx)=nx =>f(x)=x.
réciproquement ça marche.
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mehdibouayad20
Expert sup
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Localisation : Fez City
Date d'inscription : 15/12/2007

MessageSujet: Re: problème N°115 de la semaine (07/01/2008-13/01/2008)   Lun 14 Jan 2008, 00:18

salut solution postée
A+ Mehdi
solution non trouver
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MessageSujet: Re: problème N°115 de la semaine (07/01/2008-13/01/2008)   

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problème N°115 de la semaine (07/01/2008-13/01/2008)
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