fonction exponentielle

Sujet: fonction exponentielle Lun 14 Jan 2008, 21:07

Bonsoir,
Je suis en train de réviser mon controle et je suis tombé sur l'exercice ci dessous,pourriez vous m'aidez
On suppose qu'il existe une fonction f derivable sur R telle que f(0)=1 et f'=f
Démontrer que la fonction xf(x)f(-x) est constante sur R
je ne sais pas
en déduire que la fonction f ne s'annule pas sur R et que pour tout réel x f(-x)=1/f(x)
il faut dire que la fonction xf(x)f(-x) est constante et que f(0)=1 donc f ne s'annule pas
comme f est constant f(x)f(-x))=1 ainsi f(-x)=1/f(x)
voila
Il y aussi un autre exercice où je bloque:
Déterminer les fonctions dérivables sur R telles que: 2f'=f
exprimer f(x) en fonction dex sachant que f(-1)=2
2f'=f équivaut à f'=1/2f
donc les solutions sont de la forme A.exp(1/2x)
après je n'arrive pas à déterminer A

merci d'avance

Sujet: Re: fonction exponentielle Lun 14 Jan 2008, 22:56

pour la deux
f(x)=Ae^(x/2) et comme f(-1)=2
alors 2=Ae^(-1/2) => A=2e^(1/2)

pour la 1e je crois que cest la fonction x->f(x)f(-x) (sinon la fonction exp serait un parfait contre exemple)
si cest le cas alors
posons g(x)=f(x)f(-x)
g est derivable sur IR tel que
pour tout x de IR g'(x)=f'(x)f(-x)-f(x)f'(-x)
et comme f'=f
alors g'(x)=0
d où g constant

sinon bonne chance pour ton controle et pour tout le reste ...

Sujet: Re: fonction exponentielle Mar 29 Jan 2008, 20:02

c tres bien mais je vais intervenir pour vous signaler que g'(x) egal f'(x)f(-x)+f(x)f'(-x) car o0aminbe0o a ecrit un (-à au lieu de +
et bonsoir

Sujet: Re: fonction exponentielle Mar 29 Jan 2008, 20:55

havid a écrit:: c tres bien mais je vais intervenir pour vous signaler que g'(x) egal f'(x)f(-x)+f(x)f'(-x) car o0aminbe0o a ecrit un (-à au lieu de +
et bonsoir

non non (gof)'(x)=f'(x)*g'of(x)
pour ce cas ici présent , (f(-x))'=-f'(-x)