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 problème N°117 de la semaine (21/01/2008-28/01/2008)

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samir
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MessageSujet: problème N°117 de la semaine (21/01/2008-28/01/2008)   Lun 21 Jan 2008, 17:29


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samir
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MessageSujet: Re: problème N°117 de la semaine (21/01/2008-28/01/2008)   Lun 21 Jan 2008, 17:33

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

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adam
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MessageSujet: Re: problème N°117 de la semaine (21/01/2008-28/01/2008)   Lun 21 Jan 2008, 23:23

Solution postée
voici la solution d'Adam



Démontrons le théorème de Pierre Varignon



Posons : AB = a , BC = b , DC = c et AD = d

A’B = AA’ = x = a/2 , BB’ = B’C = y = b/2 , CC’ = C’D = z = c/2 , DD’ = D’A = t = d/2

on a S(ABCD) = S(A'B'C'D') + S' + S'' + S''' + S'''' avec :

S'''' = S(A’BB’) et S''' = S(B’CC’) et S'' = S(CDD’) et S' = S(D’AA’)

Et on a
S(ABCD)
= ( ab.sinB + cd.sinD)/2
= ( bc.sinC + ad.sinA)/2

= ( 4xy.sinB + 4zt.sinD)/2
= ( 4yz.sinC + 4tx.sinA)/2

= 4 (S' + S'' ) = 4 ( S''' + S''' )

donc
S(ABCD) = 2( S' + S'' + S''' + S'''' ) d'où S(A’B’C’D’) = S(ABCD) / 2
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ThSQ
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MessageSujet: Re: problème N°117 de la semaine (21/01/2008-28/01/2008)   Mar 22 Jan 2008, 17:46

Solution postée
voici la ,solution de ThSQ
Vraiment pas simple à expliquer sans dessin.
C'est une application du théorème des milieux dans un triangle :
* le petit quadrilatère joignant les milieux des côtés est un parallélogramme
* trace les deux diagonales du grand quadrilatère
* l'aire du bout de parallèlogramme qui est d'un côté d'un diagonale est la
moitié de l'aire du grand triangle dans lequel il est.

Au total : l'aire du parallèlogramme = 1/2 Aire du quadrilatère.
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neutrino
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MessageSujet: Re: problème N°117 de la semaine (21/01/2008-28/01/2008)   Mar 22 Jan 2008, 17:58

solution postée Smile
voici la solution de neutrino

Soit S la surface de ABCD, ona :

S = S(ABD) +S(BCD)
= 1/2 ( AD*AB*sinA +BC*DC*sinC)
mais aussi : S= S(ABC)+S(ADC)
= 1/2 ( AB*BC*sinB +AD*DC*sinD)

<=> 2S = 1/2 (AD*AB*sinA +BC*DC*sinC +AB*BC*sinB +AD*DC*sinD)
<=> S= 1/4 [ AD*AB*sinA +BC*DC*sinC +AB*BC*sinB +AD*DC*sinD]

Soit S' la surface de A'B'C'D' , ona donc :
S' = S- 1/2 * [ 1/4 (AD*AB*sinA) + 1/4 (BC*DC*sinC) +1/4 (AB*BC*sinB) + 1/4 (AD*DC*sinD) ]
enfin : S'=S-S/2 = S/2 (sauf erreur farao )
A+
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rockabdel
Maître


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MessageSujet: Re: problème N°117 de la semaine (21/01/2008-28/01/2008)   Sam 26 Jan 2008, 09:41

ENvoyé
voici la solution de rockabdel
Puisque A', B', C', et D' sont les milieux respectifs de AB, BC , CD , AD donc

A'B'=D'C'=1/2 AC
A'D'=C'D'=1/2 BD
( En vecteur)

donc A'B'C'D' est un parallelograme dou

S'=C'D'*C'B'*sin(a)
avec a= l'angle entre A'B' et C'B'

soit b langle entre AC et BD dapres la premiere relation on a:
a=b ( chaque deux vecteurs sont colineaire)

donc S'=4 AC*BD*sinb=4*S
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Alaoui.Omar
Expert sup
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MessageSujet: Re: problème N°117 de la semaine (21/01/2008-28/01/2008)   Sam 26 Jan 2008, 09:44

Solution postée
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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: problème N°117 de la semaine (21/01/2008-28/01/2008)   Dim 27 Jan 2008, 11:21

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
L'image du triangle (ABD) par l'homothétie de centre A et de rapport 1/2
est le triangle (AA'D'), donc Aire(AA'D') = Aire(ABD)/4.
De même, Aire(CC'B') = Aire(CBD)/4.
==> Aire(AA'D')+Aire(CC'B')= Aire(ABD)/4+Aire(CBD)/4 = S/4
De même, Aire(DD'C')+Aire(BBA')= S/4
==> Aire(A'B'C'D')=S/2
A+

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MessageSujet: Re: problème N°117 de la semaine (21/01/2008-28/01/2008)   

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