DM: Exo de suites (Urgent)

Bonsoiir !

J'ai besoin de votre aide concernant cet exo :

• ABC est un triangle équilatéral . Ab=1 (Image1)
  On divise les trois cotés du triangle ABC chacun en 3 morceaux égales après on crée des triangles équilatéral (Voir image 2)
  
  
  
  
  On refait la même opération pour le reste des morceaux qu'on a eu , ce qui donne cela :
  
  
  
  
  On refait la même opération de la même manière jusqu'au nombre N
  Sachant que :
  
  U_n : Le nombre des morceaux creés dans la division n
  V_n : la longueur d'un morceau dans la division n
  P_n : Périmètre de la figure dan la division n
  S_n: Surface de la figure dans la division n
  
  1)A)
  Calculez u_1, u_2, u_3
  B)
  Démontre que (U_n) est une suite géométrique, puis trouve u_n bidalalat n
  2)A) Demontres que (V_n) est une suite géométrique, puis trouve V_n bidalalat n
  
  B) Montres que pour tout n de IN : P_n= 3*(4/3)^n
  
  3) A) Calcule la surface du triangle ABC, puis trouves S1
  B)
  Calculez S(n+1) - Sn bidalalat n
  
  C) Calcule avec deux méthodes différentes: " (Sn - S(n-1)) + ( S(n-1)- S(n-2))+...+(S2-S1)
  
  Puis conclus Sn bidalalat n

Merci d'avance ! Si vous pouvez me répondre ce soiir ça sera sympa de votre part car j'ai besoin de votre aide

Vous êtes pas obligé de répndre à toutes les questions, juste postez ce que vous avez pu faire ^^

Mici d'avance!^^

BSR Jiji-rajaa !!!
La division en 3 de chaque côté te génère toujours 4 autres petits côtés .
Par conséquent la suite {un}n est géométrique de raison 4 et on a un=3.4^n pour tout n entier n>=1
Le 3 signifie qu'au départ tu es partie d'un TRIANGLE ;
Alors u1=12 , u2=48 et u3=192 sa va très vite !!!!!
A+ LHASSANE
La courbe que tu obtiendras au final est une COURBE FRACTALE .

me comment on va demontre k'elle est geometrike?

ont doir cherche le q

wé mé on doit avoir un+1 pour lecrire en fonction de un

BOURBAKI a écrit:

BSR Jiji-rajaa !!!
La division en 3 de chaque côté te génère toujours 4 autres petits côtés .
Par conséquent la suite {un}n est géométrique de raison 4 et on a un=3.4^n pour tout n entier n>=1
Le 3 signifie qu'au départ tu es partie d'un TRIANGLE ;
Alors u1=12 , u2=48 et u3=192 sa va très vite !!!!!
A+ LHASSANE
La courbe que tu obtiendras au final est une COURBE FRACTALE .

Exactement C'est ce que j'ai fait aussi merci pour la réponse !^^

Et pour la suite ?

Laisses moi réfléchir Jiji-rajaa !!
Je ne veux pas te donner des choses fausses !!
A+ LHASSANE

sn!per a écrit:

wé mé on doit avoir un+1 pour lecrire en fonction de un

u(n+1)=4.un pour tout n>=1
Y a ka voir l'étape 1 pour s'en apercevoir !!!
A+LHASSANE

t'as rasion! Merci!

pr vn c une suite geometrik de raison 1/3
vn=1/3^n
me pr demontrer kellé geometrik je c ps

BOURBAKI a écrit:

Laisses moi réfléchir Jiji-rajaa !!
Je ne veux pas te donner des choses fausses !!
A+ LHASSANE

Prenez tout le temps qu'il vous faut ^^

On va attaquer maintenant la suite {vn}n ;
Ona v1=1/3 au départ .
La division par 3 de chaque côté de longueur a te génère 4 petits côtés de longueur commune (a/3)
Faire un DESSIN de la 1ère étape pour constater ...
Par conséquent la suite {vn}n est GEOMETRIQUE de raison 1/3 et de 1er terme v1=1/3
d'ou vn= (1/3).(1/3)^(n-1)=(1/3)^n pour tout n entier n>=1
Est ce que tu me suis Jiji-rajaa ??????
A+ LHASSANE

Oui je vous suis Professeur

Merciiii pour votre aide ^^

Attaquons {Pn}n
Le périmètre de la figure obtenue à la n-ième étape est obtenu en MULTIPLIANT :
Le nombre de côtés de la figure soit un
PAR
La longueur commune de ces côtés soit vn
Ainsi , on a Pn=un.vn={3.4^n}.{(1/3)^n}=3.(4/3)^n pour tout entier n avec n>=1
Vérifie que pour v1 , cela devrait donner 4 car à la 1ère étape tu as 12 petits côtés de longueur commune (1/3).
A+ LHASSANE

Ouii vous avez raison !

La dernière question est un peu +dure que les autres !!!
Pour le triangle équilatéral ABC de côté 1 , sa surface est rac(3)/4 cela ne te pose guère de problème .
Il faut peu etre voir ce qui se passe à la 1ère étape pour comprendre la suite .
Regardes la figure << Image2 >>
Tu vois bien que la figure obtenue ( comportant 12 petits côtés de longueur commune 1/3 )
La surface de cette figure est EXACTEMENT la somme de la surface du triangle ABC augmenté de la surface de TROIS petits triangles équilatéraux de côté (1/3) chacun et dont la surface totale est :
3(1/3).(1/3).(rac3)/4=(1/3).(rac3)/4=(rac3)/12
En conclusion: S1=Aire(ABC)+(rac3)/12=(rac3)/4 + (rac3)/12
S1=(rac3)/3
MAINTENANT : il faut faire l'effort de passer à l'étape (n+1) .
Regardes la figure obtenue à la 2ème étape et observes bien car c'est la figure obtenue à la 1ère étape à laquelle se sont ajoutés des petits triangles équilatéraux . Combien ???? 12 je crois !!!!
A+ LHASSANE

En fait : Aire = Surface ? (Apparemment oui, mais je ne le savais pas ^^' )

Oui il y a 12 Triangles qui ont été ajoutés !

Essayes d'évaluer S2-S1
C'est la surface des 12 petits triangles équilatéraux qui se sont ajoutés , ils ont pour côté 1/9.
Ainsi S2-S1=12.(1/9).(1/9).(rac3)/4=(rac3)/27
A+ LHASSANE

Je n'ai pas très bien compris pourquoi vous avez eu :
S2-S1=12.(1/9).(1/9).(rac3)/4

la surface d'un de ces triangles égale :

S=( 1/9 * h )/2
H= rac(5)/18
Alors
S= 6rac(5)/81

Surface des 12 Triangles = 12*S

Non ?

Edit: Arghh, je me suis trempé en calcuuul

Jiji-rajaa a écrit:

Je n'ai pas très bien compris pourquoi vous avez eu :
S2-S1=12.(1/9).(1/9).(rac3)/4

la surface d'un de ces triangles égale :

S=( 1/9 * h )/2
H= rac(5)/18
Alors
S= 6rac(5)/81

Surface des 12 Triangles = 12*S

Non ?

Mais ce sont des triangles équilatéraux donc ( les 3 angles sont égaux à 60degrés )
et la hauteur vaut (1/9).sin(60)=(1/9)(rac3)/2
A+ LHASSANE

Ah ouiii c'est vrai, moi j'ai utilisé le théoreme de pytagors et je me suis trempé en calcul

Essayons de généraliser :
A la n-ième étape : on obtient une figure régulière ayant u(n) cotés de dimension(1/3)^n et de surface Sn.
A l'étape suivante (n+1) : la figure obtenue est régulière ayant u(n+1) côtés de dimension (1/3)^(n+1) et de surface S(n+1)
Cette figure est obtenue en adjoignant u(n) petits triangles équilatéraux de côté commun égal à (1/3)^(n+1)
DONC :
S(n+1)-S(n)=u(n).{(1/3)^(n+1)}^2.(rac3)/4
Or u(n)=3.4^n
Donc S(n+1)-S(n)=(1/12).(4/9)^n.(rac3).
La formule me semble juste , elle te donne pour n=1 :
S2-S1=(rac3)/27 résultat que j'ai trouvé précedemment par calcul direct !!!!
A+ LHASSANE

Ouiii c'est juste ! Bravo

Il reste plus que la dernière question ^^

Tu as deux procédés :
1ère Méthode : remarquer que la suite {S(n)-S(n-1)}n est GEOMETRIQUE de raison 4/9
2ème Méthode : la télescopie !!
(S(n)-S(n-1))+(S(n-1)-S(n-2))+.........(S2-S1)
=S(n)-S1 tout simplement !!!
A+ LHASSANE