Problème de Février 2008

Soit x un réel.
Montrer que x est rationnel ssi il existent 3 entiers distincts a,b,c tels que
x+a,x+b,x+c forment une progression géométrique.

Salut,
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Réponse par pm

Bonjour Mr Abdelbaki Attioui

Si x+b = r(x+a) et x+c = r(x+b) alors x = (b^2-a*c)/(a+c-2*b) € Q

A noter que ça ne marche pas si b = (a+c)/2 (pas de solution).


Réciproquement si x est rationnel = p/q

Si x > 0 alors r=q+1, a=0, b=p, c=2p+q convient
Si x = 0 alors n'importe quel r convient avec b=ra et c=rb
Si x < 0 t x != -1 (p < 0), r=q+1, a = -p, b = -pq, c = p-q*p-p*q^2
Si x=-1, r=3, a=2,b=4,c=10 convient

solution postée par e-mail

Salut tout le monde,je suis trés heureux de reparticiper encore une fois aprés une longue absence.
Solution postée.

Solution non trouvée

solution postee par mp
a+

Bonjour monsieur Attioui,

Voici ma solution au probleme du fevrier

Si x \in R et tq x+a, x+b,x+c
-a,b, et c sont des entiers tous differents-
sont trois termes consecutifs d'une suite geometrique. Alors
(x+a)(x+b) = (x+c)^2
ce qui donne que x=(b^2-ac)/(a+c-2b) \in Q (a noter que a\neq b et c\neq c donne que effectivement le denominateur est non nul).

Inversement
si x\in Q\N (rationnel non entier -les entiers verifient bien visiblement x+a, x+b,x+c
-a,b, et c sont des entiers tous differents-
sont trois termes consecutifs d'une suite geometrique-)

ont l'ecrit sous cette forme

x=m/n avec m\neq 0 et n>0 (*)

on a bien x, x+m et x+2m+mn qui sont trois termes consecutif d une suite geometrique de raison 1+n c a d que a=0, b=m,c=2m+mn et qui sont bien tous differents depuis (*).

ce qui donne le resultat.

a+

Bonsoir:
reponse postée.
@+
Solution non trouvée

c'est bizarre,je suis sur que je l'ai envoyé par msn,mais c'est pas grave,j'ai proposé presque la mème solution qu'abdelilah.