Equation a nombre fini de racine

Soit P un polynome de degré n>1
Montrer que l'equation P(x)=e^x n'a qu'un nombre fini de solutions dans R

soit P un polynome ds IR[x] de degré n>1

soit h la fct defnie de IR vers IR par h(x)=P(x)-e^x

h est de classe+00 donc qq soit k ds IN h_k est continue et derivable ( h_k est la derivée k-iéme de h).de plus h_k=P_k(x)+e^x

supposons par abusrde que l'equation h(x)=0 admets une infinité de solution . donc d'aprés le theoréme de Rolle h' s'annule une infinité de fois. de meme h' admettant une infinité d solution ,il sera de méme pour h'' . de proche en proche on arrive a h_n ou n est le degré de P .on aurait h_n(x)= admets une infinité d solution cad quil existe une infité de x distincs tq e^x=n! .absurde bu la bijectivité de la fct exponentielle...

saadhetfield a écrit:

soit P un polynome ds IR[x] de degré n>1

soit h la fct defnie de IR vers IR par h(x)=P(x)-e^x

h est de classe+00 donc qq soit k ds IN h_k est continue et derivable ( h_k est la derivée k-iéme de h).de plus h_k=P_k(x)+e^x

supposons par abusrde que l'equation h(x)=0 admets une infinité de solution . donc d'aprés le theoréme de Rolle h' s'annule une infinité de fois. de meme h' admettant une infinité d solution ,il sera de méme pour h'' . de proche en proche on arrive a h_n ou n est le degré de P .on aurait h_n(x)= admets une infinité d solution cad quil existe une infité de x distincs tq e^x=n! .absurde bu la bijectivité de la fct exponentielle...

tout a fait d'accord mais je crois qu'on aura plutot l'equation e^x=0 admet une infinité de solution absurde

Mahdi a écrit:

saadhetfield a écrit:

soit P un polynome ds IR[x] de degré n>1

soit h la fct defnie de IR vers IR par h(x)=P(x)-e^x

h est de classe+00 donc qq soit k ds IN h_k est continue et derivable ( h_k est la derivée k-iéme de h).de plus h_k=P_k(x)+e^x

supposons par abusrde que l'equation h(x)=0 admets une infinité de solution . donc d'aprés le theoréme de Rolle h' s'annule une infinité de fois. de meme h' admettant une infinité d solution ,il sera de méme pour h'' . de proche en proche on arrive a h_n ou n est le degré de P .on aurait h_n(x)= admets une infinité d solution cad quil existe une infité de x distincs tq e^x=n! .absurde bu la bijectivité de la fct exponentielle...

tout a fait d'accord mais je crois qu'on aura plutot l'equation e^x=0 admet une infinité de solution absurde

hh sa sa si on derive n+1 fois moi G derivé n fois c tt :d( P_n=n! si P est de degré n )

saadhetfield a écrit:

Mahdi a écrit:

saadhetfield a écrit:

soit P un polynome ds IR[x] de degré n>1

soit h la fct defnie de IR vers IR par h(x)=P(x)-e^x

h est de classe+00 donc qq soit k ds IN h_k est continue et derivable ( h_k est la derivée k-iéme de h).de plus h_k=P_k(x)+e^x

supposons par abusrde que l'equation h(x)=0 admets une infinité de solution . donc d'aprés le theoréme de Rolle h' s'annule une infinité de fois. de meme h' admettant une infinité d solution ,il sera de méme pour h'' . de proche en proche on arrive a h_n ou n est le degré de P .on aurait h_n(x)= admets une infinité d solution cad quil existe une infité de x distincs tq e^x=n! .absurde bu la bijectivité de la fct exponentielle...

tout a fait d'accord mais je crois qu'on aura plutot l'equation e^x=0 admet une infinité de solution absurde

hh sa sa si on derive n+1 fois moi G derivé n fois c tt :d( P_n=n! si P est de degré n )

pas forcément c'est P_n=cd(P)n!

cd(P) coefficient dominant de P non?

oué niensur ! moi G consideré le polynome unitaire c'est tous

si le degré du polynome P est infinis on aura pas un nombre fini de solution car on va avoir
p(x)=1+x+x²/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+..... =e^x
qu'est vrai pour tt x de IR

kalm a écrit:

si le degré du polynome P est infinis on aura pas un nombre fini de solution car on va avoir
p(x)=1+x+x²/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+..... =e^x
qu'est vrai pour tt x de IR:affraid:

tu est sur?

oui il ya un probleme ou tu veut la preuve

kalm a écrit:

oui il ya un probleme ou tu veut la preuve

tu pense que p(x)=e^x (pour tout x de R)

Kalm, ne confond pas développement en série entière et polynomes...

facil de
montrer que si p(x)=e^x admet N solutions => p'(x)=e'(x)=e(x) ademet plus que N-1
solutions et comme ca p^(n+1)(x)=e(x) admet plus que N-n-2
P^(n+1)(x)=e(x) <=> e(x)=0 qui n'admet aucun solution
on suppose que N>n-2 donc la dernier equation admet une solution ce qui est contradictoire donc il y une finie de solution

N.B: P^n+1 la derivation de degré n+1 et c'est facile de demontre que P^(n+1)(x)=0

hamzaaa a écrit:

Kalm, ne confond pas développement en série entière et polynomes...

comment ?

Un polynome est PAR DEFINITION de degré fini.

j'ai pas vu qu'une seule '' finis'' dans l'enoncé et tu sait a propos de quoi

kalm a écrit:

j'ai pas vu qu'une seule '' finis'' dans l'enoncé et tu sait a propos de quoi

Que veux-tu dire?