exo olymp

trouver toutes les applications f de R+ à R+ tel que:
1)pour tt x et y de R+: f(xf(y))*f(y)=f(x+y)
2)f(2)=0
3) pour tout x appartenant à [0,2[ f(x) n'égale pas 0.

po de réponse?

facile
f(x)>=1 pour tt x£(0.....2(
f(x)=0 pour tt x£ (2.........+oo(

Bonjour ;

Condition nécessaire :

(*) Une telle application est clairement nulle sur [2,+oo[ .

(*) Pour x£[0,2[ on a f((2-x)f(x)).f(x)=f(2)=0 et comme f ne s'annule pas sur [0,2[ ,
on a (2-x)f(x)>=2 d'où f(x)>= 2/(2-x) .

(*) Pour x,y£[0,2[ , x<y on a f((y-x).f(x)).f(x)=f(y)#0
d'où (y-x).f(x)<2 d'où f(x)<2/(y-x) et en faisant tendre y vers 2 (par valeurs inférieures)
on voit que pour tout x£[0,2[ on a f(x)=< 2/(2-x) .

Condition suffisante :

(*) La fonction f:IR+ --> IR+ , f(x)=2/(2-x) si x£[0,2[ et f(x)=0 sinon est bien solution de notre équation fonctionnelle .

(sauf erreur bien entendu)

Bravo

Merci abdelilah