olympiade 1er

soit f(n) le nombre de couples (x,y) solutions de l'équation suivante:
x+2y=n
tel que x et y appartiennet à IN.
démontre que f(0)=f(1)=1 et f(n)=f(n-2)+1 (n=2,3,4,......) etcalcule f(n) en fonction de n.

alors po de réponse? dommage!

S l'ensemble de solution de l'équation et cardS=f(n)
x+2y=n <=>x+2(y-1)=n-2 sa veut dire qu'on va dispenser le couple (0,n) de S car y-1>=0 sa veut dire f(n)=f(n-2)+1
si: n=2k => f(2k)-f(2(k-1))=1 <=>f(u_k)-f(u_(k-1))=1 (u_k=2k)
=>f(u_p)-f(0)=p <=>f(2n)=n+1
si:n=2k+1 =>f(2k+1)-f(2k-1)=1 <=> f(2(k+1)-1)-f(2k-1)=1
<=>f(u_(k+1))-f(u_k)=1 (u_k=2k-1)
=>f(u_(p+1))-f(1)=p =>f(2p+1)=p+1
sa veut dire que f(2n+1)=f(2n) on peut generaliser par f(n)=E(n/2)+1 ce qui est facile a demontrer par reccurence

voila ma reponse
x+2y=n
==>x=n-2y cette equation une infinité de couple comme solution
les couples (x'y)£N°2 realise
n-2y>=0 et y£N
==> 0<= y<=n/2 et y£N
kel que soit n paire ou impaire (n=2k+1 ou n=2k)
on deduit quil ya k+1 y qui realise ces conditions
==>f(n)=k+1
de la mme facon on demontre que f(n-2)=k
==>f(n)=f(n-2)+1

3*
cas 1 est paire
f(n)=n/2 +1
cas 2 n impaire
f(n)= (n+1)/2