test n°1 stage du rabat (25-29 /01/2008) (olympiade 2008)

et pour le problème 1 ,supposant que abc est rectangle en A
donc: sin²a=1
et on a:
sin²b=ac²/bc²
et sin²c=ab²/bc²
donc: sin²c+sin²b=ac²+ab²/bc²
si sin²b+sin²c=/=1
donc: ac²+bc²=/=bc²
donc abc n'est pas rectangle dans a :
d'où: sin²a+sin²b+sin²c=2

manazerty a écrit:

pour le problème 3,pourriez vous me donner une idée sur l'utilité du a,b,c et d>1/2 ?!
et voici une autre solution:
on a : 4abcd>=4(a²+b²+c²+d²)>=(a+b+c+d)² (d'après cauchy schawrz)
donc il suffit de démontrer que:
(a+b+c+d)²>=4(a+b+c+d)-32
ce qui est évident car:
p²-4p+32 >=0 pour tout p de R vu que le dét. et inférieur à 0
donc: abcd>=a+b+c+d-8
CQFD

On doit démontrer que abcd>=a+b+c+d+8 pas (-.
Tu pourrais rectifier ta démo.
on doit donc plutôt démontrer que p²-4p-32>=0 (Le discriminant n'est pas négatif) ça consiste à démontrer que p>=8, ce qui est clair d'après Cauchy et IAG!

zut!
le signe + parait comme un - sur la copie (je crois que j'ai besoin de lunettes!! lol)
bon je rectifie alors:
on a :(a+b+c+d)^4>=4^4 abcd>=4^4(a²+b²+c²+d²)>=4^3 (a+b+c+d)²(d'après iag puis l'exo puis cs)
donc: (a+b+c+d)²>=4^3
d'où: a+b+c+d>=2^3=8
quoique je ne vois pas vraiment l'utilité de me rectifier vu que t'as déjà donné les détails de la démo mais bon pas grave !