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 problème N°121 de la semaine (18/02/2008-24/02/2008)

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samir
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MessageSujet: problème N°121 de la semaine (18/02/2008-24/02/2008)   Lun 18 Fév 2008, 18:49


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samir
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MessageSujet: Re: problème N°121 de la semaine (18/02/2008-24/02/2008)   Lun 18 Fév 2008, 18:51

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

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ThSQ
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MessageSujet: Re: problème N°121 de la semaine (18/02/2008-24/02/2008)   Lun 18 Fév 2008, 20:12

Solution postée
voici la solution de ThSQ
n! < ((n+1)/2)^n par l'inégalité entre moyennes et n! < n^n
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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: problème N°121 de la semaine (18/02/2008-24/02/2008)   Lun 18 Fév 2008, 21:17

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
t --> ln(t) est strictement concave sur ]0,+00[
==> ln((1^3+2^3+...+n^3)/n)> (ln(1^3)+ln(2^3)+...+ln(n^3))/n
==> ln(n(n+1)²/4)) > 3 (ln(1)+ln(2)+...+ln(n))/n
==> n^n((n+1)/2)^(2n) > (n!)^3
A+

_________________
وقل ربي زد ني علما
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joystar1
Maître


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MessageSujet: Re: problème N°121 de la semaine (18/02/2008-24/02/2008)   Lun 18 Fév 2008, 21:53

solution postée
voici la solution de joystar
on a :
[(n+1)/2]^n=[(n+n-1+n-2+...1)/n]^n>n!(am_gm,inegalité stricte car n>n+1>..1)
ainsi [(n+1)/2]^2n>n!^2 (1)
d'autre part n^n=n*n*...n(nfois)>n(n-1)..1=n! (2)
en multipliant 1 et 2 on obtien le resultat
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neutrino
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MessageSujet: Re: problème N°121 de la semaine (18/02/2008-24/02/2008)   Mer 20 Fév 2008, 18:37

solution postée
voici la solution de neutrino

dans la ligne 3 et 4 j'ai utilisé l'IAG
et la dernière inégalité est vraie , car :

(sauf erreur de ma part)

A+
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badr
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MessageSujet: Re: problème N°121 de la semaine (18/02/2008-24/02/2008)   Ven 22 Fév 2008, 11:02

Solution postee
voici la solution de badr
on va demntrez que qq soit n de N* n^n(1+n/2)^2n>=(n!)^3

on a qq soit (n£N*) et pour tous x £R*+ {1/n* sum(de (k=1) a n) x_k }^n>= prod[k=1 a k=n] x_k (**)

et on a sum(k=1 a k=n) k^3=(sum(k=1 a k=n) k)^2=(n*(n+1)/2)²

et n^n*(n+1/2)^2n=1/n^n*((n*n+1)/2)^2n={1/n*(n(n+1)/2)²}^n={(sum(k=1 a k=n) k^3)*1/n}^n (1)

et d'autre cote( prod [k=1 a k=n] k)^3=prod (k de 1 a n) k^3=(n!)^3 (2)


apres (**) on pose puisque N*CR*+ x_k=k^3

donc on a (1/n*sum(de k=1 a n) k^3)^n>=prod (dek=1 a k=n ) k^3

de (1) et (2) on a n^n*{(n+1)/2}^2n>=(n!)^3 ; d'ou le resultat
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khamaths
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MessageSujet: Re: problème N°121 de la semaine (18/02/2008-24/02/2008)   Ven 22 Fév 2008, 12:48

Bonjour

Solution postée
voici la solution de khamaths
La fct ln est concave sur ]0,+oo[====> ln [1/n*sum_k=1^n{k^3}>1/n*sum_k=1^n{ln(k^3)}

=====>n*ln[1/n*[n(n+1)/2]^2] > sum_k=1^n{ln(k^3)}
=======>[n[(n+2)/2]^2]^n > pdt k=1^n{k^3}
=======>n^n[(n+1)/2]^{2n} > ( n!)^3
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mni
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MessageSujet: Re: problème N°121 de la semaine (18/02/2008-24/02/2008)   Sam 23 Fév 2008, 15:53

solution postéé
voici la solution de mni
ona dapres IAG
(1+2+3+.........n)°n /n°n>=1*2*3*4*......n
==>(n(n+1)/2))°n/n°n>=n!
==>((n+1)/2)°n>=n!
==>((n+1)/2)°2n>=(n!)°2
on a n>=1 donc n>=(n+1)/2
n>1==>n°n>=((n+1)/2)°n>=n!

==>n°n * ((n+1)/2)°n >=(n!)°3
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iverson_h3
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MessageSujet: Re: problème N°121 de la semaine (18/02/2008-24/02/2008)   Sam 23 Fév 2008, 17:33

solution postée par e-mail !!!!!!!!
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amine-b
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MessageSujet: Re: problème N°121 de la semaine (18/02/2008-24/02/2008)   Sam 23 Fév 2008, 17:57

solution postée !!!!!!!
(solution non trouver)
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memath
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MessageSujet: Re: problème N°121 de la semaine (18/02/2008-24/02/2008)   Dim 24 Fév 2008, 14:00

solution postee
voici la solution de memath
on a :

d ou le resultat
cardialement
Smile
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badr
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MessageSujet: Re: problème N°121 de la semaine (18/02/2008-24/02/2008)   Mar 26 Fév 2008, 11:28

pour n=1 on a pas l'inegalite
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MessageSujet: Re: problème N°121 de la semaine (18/02/2008-24/02/2008)   

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