suites de Cauchy

Soit E un e.v.n de dimension finie. (u_n) et (v_n) deux suites de E telles que : u_n - v_n --> 0 et (u_n) de Cauchy.
Montrer que (v_n) est de Cauchy.

E étant de dimension finie , les normes sur E sont toutes équivalentes . soit N une norme sur E
(Un) de Cauchy dans E signifie pour tout p entier naturel :
N(U(n+p)-U(n)) --> 0 quand n -->+infini.
soit p un entier naturel :
N(V(n+p)-V(n))<= N(V(n+p)-U(n+p))+N(U(n+p)-U(n))+N(U(n)-V(n)) (on intercale U(n+p) et U(n) et on utilise linégalité triangulaire.
N(V(n+p)-U(n+p)) -->0 quand n-->+infini d'après ta 2ème hypothèse
N(U(n)-V(n)) -->0 quand n-->+infini d'après ta 2ème hypothèse
N(U(n+p)-U(n))--> 0 quand n-->+infini car U est de Cauchy dans E
donc N(V(n+p)-V(n))-->0 quand n-->+infini et ceci pour tout entier p . conclusion V est de Cauchy dans E