Suite géométrique dans L(E)

Soit E un e.v.n de dimension finie et U dans L(E) tel que :
qqs x dans E la suite (U^n(x)) est bornée dans E.
1) Montrer que la suite (U^n) est bornée dans L(E).
2) Déterminer la limite de la suite (x+U(x)+U^2(x)....+U^n(x))/(n+1)

1) E étant normé de dimension finie , alors toutes les normes sur E sont équivalentes . Soit N une norme euclidienne sur E.
Soit B=(e1,e2,..,ep) une base orthonormée de E , oû p=dimE.

On rappelle que pour un endomrphisme de E , la norme de cet endomorphisme est la norme subordonnée définié par:
norme(u)=sup{N(u(x)) /N(x) , x dans E} , on sait que cette norme est atteinte(en dimension finie) sur la sphère unité {x dans E tels que N(x)=1}.
commencai-je :
D'après l'hypothèse , pour tout i=1..p il existe Mi>=0 tel que pour tout n entier naturel , N(u^n(x))<=Mi
on prend M=max{Mi , i=1..p} , et on va montrer que M fait l'affaire.
soit n un entier naturel ,
soit x un élément de E , alors x=x1*e1+x2*e2+..+xp*ep , car B est un base de E
N(u^n(x))=N(u^n(x1*e1+..+xp*ep))
=N(x1*u^n(e1)+..+xp*u^n(ep))
<=abs(x1).N(u^n(e1))+..+abs(xp).N(u^n(ep)) (ineg triangulaire)
<=abs(x1).M+..+abs(xp).M = M.(abs(x1)+..+abs(xp))
<=M .N(x)

donc la norme subordonnée de u^n est majorée par M
et cec pour tout entier naturel n
d'ou le 1)
rq : - abs veut dire valeur absolue
- euclidienne veut dire issue d'un produit scalaire , et j'ai considéré que E est euclidien , qui est plus que e.v.n de dim finie
- la puissance ^ , veut dire la composition dans L(E)