Problème de Mars-Avril 2008

Trouver toutes les fonctions f de IR dans IR continues et bornées telles que qqs x dans IR:



Voir aussi https://mathsmaroc.jeun.fr/analyses-f4/nice-t119.htm?highlight=nice

Salut,
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Indication : Montrer que f=0 est la seule solution.

bonsoir , je crois que j ai une approche qui peut vous etre utile :
ona :


il est clair que  f(x)=f(-x) donc f est pair.



ou F'(x)=f(x)

ona :





donc on trouve  f'(0)=0

donc d'ici je crois qu il sera plus facile de prouver que f(x)=0 est la seule solution par raisonnement par absurde....

mais je ne vois pas commnt faire

L'hypothèse f bornée n'est pas encore utilisée.
D'aprés l'équation, f est paire et elle est de classe C infini sur IR.

pouvez vous completer votre sollution car je né pas le niveau sup et je ne connais pas à quoi sert ce 'borné'

Je donnerai la solution plus tard ( niveau supérieur) en attendant
d'autres propositions.

bonsoir,je crois que j'ai résoulu ce problème mais avec une méthode trés trés longues avec des calcules trés trés lourdes...je poste la solution demain..
NB: j'ai pas utlisé ce que Monsieur Attiuoi a donné comme indication dans le topic https://mathsmaroc.jeun.fr/analyses-f4/nice-t119.htm?highlight=nice
peu ce qui me donne l'impression que j'ai tort...mais bon on va voire demain.

je pense que cela répond à la question mème si j'ai des doutes que ça soit vrai,J'attends donc la confirmation de MONSIEUR ATTIOUI.

g(x)=f( Vx ) pour x>0
g et g' sont bornées mais g'' est-elle bornée?
Attention, lorsqu'on dérive g deux fois il ya apparition des x !

On peut dire que tu as montré que toute fonction analytique solution du problème est nulle.

oui j'ai pas attontion,j'ai commis de graves erreurs,maintenant je vois pas comment je vais résoudre ce problème sauf si vous ,monsieur attioui,proposer la votre.

Si on considère l'endomorphisme u de l'algèbre de banach des fonctions continues bornées :

u: f->u(f) avec u(f) une fonction définit avec l'intégrale

Je pensais utiliser le théorème du point fixe qui nous garantirait une unicité mais on a |||u||| = 2 ...

Arg, je crois avoir obtenu une solution. Je suppose f positive pour le moment

Par l'absurde, supposons que f soit solution du problème non nulle.
Comme f est paire, il existe donc une réel a positif tel que f(a) non nul.

La continuité de f permet de dire que si a=0, alors dans un voisinage de 0 f est non nulle. Quitte à changer a en a+b avec b>0, on a :

f(a) non nul avec a strictement positif. Il existe donc d>0 (et quitte à réduire l'intervalle je vais supposer 1>d) tel que :

f non nulle sur [a-d, a+d] et donc int(a-d, a+d, f(t)dt) non nulle. On a :
int(f(t), t=a-1...a+1) non nulle (je rappelle que d<1) ie f(sqrt(a)/2) non nul

Bref, en réitérant le raisonnement,
on montre que la suite des f( a^(2/n)/2^n) est non nulle
a^(2/n)/2^n tendant vers 0

Par ailleurs, f(0) = 1/2 int(f(t), t=-1...1)

ainsi, on aura pour un certain N : f(0) >= f( a^(2/N)/2^N)>0

Ainsi f(0) est non nul. Bref, on va pouvoir conclure car la suite des f( a^(2/n)/2^n) est non nul convergeant vers un nombre f(0) par continuité de f non nul et donc la série diverge.

On a donc :

int(f(t), t=0...a) >= sum (f( a^(2/n)/2^n))

et donc l'intégrale diverge ce qui est absurde car int(f(t)=< a.||f||

ensuite, je pensais m'en sortir en décomposant f en f+ et f- qui sont positive mais je n'ai pas encore abouti à quelque chose de très rigoureux.