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 problème N°123 de la semaine (03/03/2008-09/03/2008)

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samir
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MessageSujet: problème N°123 de la semaine (03/03/2008-09/03/2008)   Lun 03 Mar 2008, 18:30


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samir
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MessageSujet: Re: problème N°123 de la semaine (03/03/2008-09/03/2008)   Lun 03 Mar 2008, 18:33

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

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neutrino
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MessageSujet: Re: problème N°123 de la semaine (03/03/2008-09/03/2008)   Lun 03 Mar 2008, 19:12

Solution postée Wink
solution non trouver
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memath
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MessageSujet: Re: problème N°123 de la semaine (03/03/2008-09/03/2008)   Lun 03 Mar 2008, 21:06

solution postee
voici la solution de memath
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iverson_h3
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MessageSujet: Re: problème N°123 de la semaine (03/03/2008-09/03/2008)   Mar 04 Mar 2008, 19:17

solution postée
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amine-b
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MessageSujet: Re: problème N°123 de la semaine (03/03/2008-09/03/2008)   Mar 04 Mar 2008, 19:37

solution postée !!!!!
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abdou20/20
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MessageSujet: Re: problème N°123 de la semaine (03/03/2008-09/03/2008)   Mar 04 Mar 2008, 21:24

solution posteeee
on montre que cos(5a)=16cos^5a-20cos^3a+5cosa
consideron la fonction
f(x)=16x^5-20x^3+5x+1=(x+1)(4x²-2x+1)²
f s annulle lorsque x=-1 x=(1+racine(5))/4 x=(1-racine(5))/4
alors cos PI /5=(1+racine(5))/4

on va utiliser la formule de trigo. cos(2A) = 2 (cosA)² - 1 en prenant A=

On obtient ainsi

C'est à dire

Donc

Donc

puis on va deduir le resultat

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Kendor
Féru


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MessageSujet: Solution au problème de la semaine n°123 par Kendor   Mer 05 Mar 2008, 10:30

Bonjour!
Solution postée.
voici la solution de kendor
Soit x=sin (π/10) et y=cos (π/10)

π/10=π/2-2π/5
Donc x=cos (2π/5) et y=sin (2π/5)

Soit z=x+iy
Alors z^5=1
Donc 1+z+z²+z³+z^4=0
Donc 1+2cos (2π/5) +2cos (4π/5)=0
Donc 1+2x+2(2x²-1)=0
Donc 4x²+2x-1=0

∆=20
Donc x= (-2+√20)/8= (√5-1)/4

y=√ (1-x²)
=√ (1-(6-2√5)/16)
=√ ((10+2√5)/16)
=√ (10+2√5)/4.

Donc x=sin (π/10)= (√5-1)/4
Et y=cos (π/10)=√ (10+2√5)/4.

Ciao!A+

Kendor
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abdelilah
Maître
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MessageSujet: Re: problème N°123 de la semaine (03/03/2008-09/03/2008)   Mer 05 Mar 2008, 19:57

Bonjour,
solution postee .
voici la solution d'abdeilah
On a cos(5x)=16*cos(x)^5-20*cos(x)^3+5*cos(x)
par resolution de
16*x^5-20*x^3+5*x = x*(16*x^4-20*x^2+5)
dont les solutions sont

0, -1/4*\sqrt(10+2*\sqrt{5}), 1/4*\sqrt(10+2*\sqrt{5}),
-1/4*\sqrt(10-2*\sqrt{5}), 1/4*\sqrt(10-2*\sqrt{5})


et puisque cos(5x)=0
<===> x=\pm \frac{\pi}{10}+\frac{2k \pi}{5} (\pm veut dire + ou - )

par ordres de ces solutions on a cos(\frac{\pi}{10}) est la plus grande des solutions donc = a 1/4*\sqrt(10+2*\sqrt{5})

et par sin(\frac{\pi}{10})>0 et sin^2 +cos^2 x = 1 on trouve

sin(\frac{\pi}{10})=1/2*\sqrt(4-\sqrt(10+2*\sqrt{5}))


Remarque: on pourra se poser la question: construire un angle dont la mesure est \frac{\pi}{10}.

Abdelilah

a+
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khamaths
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MessageSujet: Re: problème N°123 de la semaine (03/03/2008-09/03/2008)   Mer 05 Mar 2008, 22:25

Bonsoir

Solution postée

voici la solution de khamaths
Bonjour Samir

On a :**sin(4pi/10)= cos(pi/10)
d'autre part **sin(4pi/10)=2sin(2pi/10)cos(2pi/10) = 4 sin(pi/10)cos(pi/10)cos(2pi/10)

======>4sin(pi/10)cos(2pi/10) = 1
======>4sin(pi/10)[1-2sin²(pi/10)] =1 (E)
Posons: t= sin(pi/10) > 0
(E) <===>8t^3-4t+1=0
<====>(t-1/2)(8t²+4t-2)=0
<======>4t² +2t-1 =0 (t # 1/2)
<=====>sin(pi/10) = t = (-1+rac5)/4
=====>cos(pi/10) = rac(10+2rac5)/4 (cos (pi/10) > 0 )
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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: problème N°123 de la semaine (03/03/2008-09/03/2008)   Jeu 06 Mar 2008, 19:25

salotion postée
solution non trouver
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L
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MessageSujet: Re: problème N°123 de la semaine (03/03/2008-09/03/2008)   Jeu 06 Mar 2008, 20:36

solution postée
voici la solution de L
tout dabord on calcule cos pi/10
on calcule cos 5 pi/10=cospi/2=0
dautre part on sait que cos5x=cosx(16cos^4x-20cos²x+5)
on applique ona alors cospi/10=0ou 16cos^4pi/10-20cos²pi/10+5=0 la premiere impossible on pose X=cos²pi/10 et on resoud l'equation
X=20-rac80/32 impossible car X>0 donc cospi/10=rac(20+rac80/32)
dautre part sinpi/10=rac(1-rac(20+rac80/32))
j'espere que c'est correct
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MessageSujet: Re: problème N°123 de la semaine (03/03/2008-09/03/2008)   

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