cette suite est elle bornée?

salamo alaikom.
si vous permettez j'ai une question qui me préoccupe, et j'espère que vous m'aidiez sur. pour m>0 j'ai une somme de suites positives:

u(m)=v(m)+w(m).

je veux montrer que la suite v(m) est bornée. donc je suppose par absurde qu'elle n'est pas bornée. donc pour une sous suite v(m) converge vers l'infini quand m tend vers l'infini. Ce qui implique que pour une sous suite, u(m) converge aussi vers l'infini. Or j'ai établi cet inégalité

C.u(m)<= 1+w(m),

ou C est une constante strictement positive. Ma question est: pouvons dire que, par cet inégalité, et pour m assez grande les 2 suites u(m) et w(m) s'approche l'un de l'autre, et donc la suite v(m) est nécessairement bornée? et merci beaucoup à vous.

BJR sajida !!!

Je te donne sans plus tarder un contre-exemple éloquent .
Prends donc pour suites v et w les suites définies par
vm=wm=m puis pour suite u celle définie par um=2m pour tout entier m .
On a bien um=vm+wm
il existe C>0 ( prendre C=1/2 ) tel que C.um <=1+wm pour tt m
MAIS la suite {vm}m n'est pas bornée !!!

A+ LHASSANE

Oeil_de_Lynx: merci beaucoup pour votre aide. jazaka ALLAHO kola khayr