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 Calcul de Primitives . Une récurrence......

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Oeil_de_Lynx
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Oeil_de_Lynx

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MessageSujet: Calcul de Primitives . Une récurrence......   Calcul de Primitives . Une récurrence...... EmptyVen 18 Avr 2008, 20:15

Pour tout entier naturel n , on pose :
I(n)= INT{x=0.......Pi/4 ; (Tanx)^n.dx}
1) Etablir une relation de récurrence entre I(n+2) et I(n)
2) Calculer I(0) et I(1) puis proposer une formule donnant I(n).


Dernière édition par Oeil_de_Lynx le Ven 18 Avr 2008, 20:39, édité 1 fois
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Nea®
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MessageSujet: Re: Calcul de Primitives . Une récurrence......   Calcul de Primitives . Une récurrence...... EmptyVen 18 Avr 2008, 20:36

pour la relation :
I(n+2)= Integ( tan²(x).tan^n(x)
suffit de voir tan²(x)=(tan'(x)-1)
I(n+2)= integ(Tan^n(x).tan²(x)-tan^n(x))
on déduit I(n+2)=1/(n+1)-I(n)
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MessageSujet: Re: Calcul de Primitives . Une récurrence......   Calcul de Primitives . Une récurrence...... EmptyVen 18 Avr 2008, 20:40

pour I(0) = pi/4
pour I(1)= ln(2)/2
vu que tan[x]=-cos'(x)/cos(x)
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Oeil_de_Lynx
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MessageSujet: Re: Calcul de Primitives . Une récurrence......   Calcul de Primitives . Une récurrence...... EmptyVen 18 Avr 2008, 20:41

BSR Nea®
That's correct Sir !!!
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saty
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MessageSujet: Re: Calcul de Primitives . Une récurrence......   Calcul de Primitives . Une récurrence...... EmptyVen 18 Avr 2008, 20:44

Oui merci cher oeil_de_lynx...
ce genre d'exo yen a plein,cool ^^ !!!
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Nea®
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MessageSujet: Re: Calcul de Primitives . Une récurrence......   Calcul de Primitives . Une récurrence...... EmptyVen 18 Avr 2008, 21:04

on peut voir que lim I(n) = 0 ça pourra nous aidé à trouvé une formule de I(n)
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MessageSujet: Re: Calcul de Primitives . Une récurrence......   Calcul de Primitives . Une récurrence...... EmptyVen 18 Avr 2008, 21:21

Nea® a écrit:
on peut voir que lim I(n) = 0 ça pourra nous aidé à trouvé une formule de I(n)
Non , je ne pense pas !!
Par contre , essayes de trouver une formule ( sous forme de somme partielle de série ) pour :
I(2n)
puis I(2n+1)
Tu vois bien que cela décrémente de 2 ( diminue de 2 à chaque fois ).
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Nea®
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MessageSujet: Re: Calcul de Primitives . Une récurrence......   Calcul de Primitives . Une récurrence...... EmptyVen 18 Avr 2008, 21:23

voilà ce que j'ai déviné : I(n)=[-1+1/2-1/3+1/4-...1/n+ln(2)]/2
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MessageSujet: Re: Calcul de Primitives . Une récurrence......   Calcul de Primitives . Une récurrence...... EmptyVen 18 Avr 2008, 21:26

Nea® a écrit:
voilà ce que j'ai déviné : I(n)=[-1+1/2-1/3+1/4-...1/n+ln(2)]/2
Si tu as atterri sur Ln(2)/2=I(1) à la dernière itération c'est que tu es parti de n IMPAIR !!!!!!
Il faut envisager les 2cas :
I(2n)=...............
puis I(2n+1)=................
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Nea®
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MessageSujet: Re: Calcul de Primitives . Une récurrence......   Calcul de Primitives . Une récurrence...... EmptyVen 18 Avr 2008, 21:28

Oeil_de_Lynx a écrit:
Nea® a écrit:
on peut voir que lim I(n) = 0 ça pourra nous aidé à trouvé une formule de I(n)
Non , je ne pense pas !!
Par contre , essayes de trouver une formule ( sous forme de somme partielle de série ) pour :
I(2n)
puis I(2n+1)
Tu vois bien que cela décrémente de 2 ( diminue de 2 à chaque fois ).
ok je donne une démostration ( j'ai utilisé un encadrement on peut le déduire par dévelopment limité de tan(x) je pense !! )
x appartient à [0,pi/4] : on peut voir que : 0<=tan(x)<= 4x/pi
tu passe pour l'integral puisque les fct continues : 0<= I(n)<= (1/(n+1))
...


Dernière édition par Nea® le Sam 19 Avr 2008, 11:21, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: Calcul de Primitives . Une récurrence......   Calcul de Primitives . Une récurrence...... EmptyVen 18 Avr 2008, 21:29

Oeil_de_Lynx a écrit:
Nea® a écrit:
voilà ce que j'ai déviné : I(n)=[-1+1/2-1/3+1/4-...1/n+ln(2)]/2
Si tu as atterri sur Ln(2)/2=I(1) à la dernière itération c'est que tu es parti de n IMPAIR !!!!!!
Il faut envisager les 2cas :
I(2n)=...............
puis I(2n+1)=................
oé t'as raison je vérifi
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