Discussion des zéros

Bonjour,

Pourriez-vous m'aider svp à discuter le nombre de zéros de l'équation

en fonction de p et q ?

Merci d'avance.

BJR à Toutes et Tous !!
BJR damboy !!
C'est l'équation classique du 3ème Degré !!
On sait déjà par l’Analyse ( TVI généralisé ... ) qu’elle admet au moins une racine réelle du moins lorsque p et q sont des coefficients réels !!!!
Pour la résolution générale , tu disposes de la méthode dite
Méthode de CARDAN ( que tu peux découvrir sur Wikipédia ) ;
Il y a un exo CLASSIQUE qui permet de trouver des relations entre p et q pour que l'équation possède une racine au moins double :
Si tu notes P(X)=X^3+pX+q
tu écris que P(X) et P'(X) ont une racine commune !!
tu divises ( à la manière d'Euclide ) P(X) par P'(X) et tu trouveras :
P(X)=(1/3).X.P'(X)+{(2/3).p.X+q}
Si p=q=0 alors P(X)=X^3 et donc A=0 est racine TRIPLE et le Pb est réglé !
Si p <>0 , alors tu en déduiras que la racine A au moins double devrait etre : A=-(3q/2p) ( tu annules le Reste )
Puis P’(A)=0 te donnera que 27.q^2+4.p^3=0
Et c’est là la CNS pour que P(X)=0 admette une racine au – double !!!!

Ok merci bcp !

Cependant, ne faut-il pas discuter aussi au niveau des zéros complexes ?
Je m'excuse d'avance de ne pas avoir précisé où on se place pour résoudre cette équation.

Ainsi, soit on a 3 solutions réelles, soit 1 réelle et 2 complexes n'est-ce pas ?

J'avais pensé au départ à la méthode qui consiste à poser X = u +v et se ramener à une équation du second degré pour mieux discuter le problème. Est-ce cela que vous appelez Méthode de Cardan ? (Je vais de ce pas aller un peu voir sur le net).

Merci de vos réponses.

BJR !!
<< J'avais pensé au départ à la méthode qui consiste à poser X = u +v et se ramener à une équation du second degré pour mieux discuter le problème. Est-ce cela que vous appelez Méthode de Cardan ? (Je vais de ce pas aller un peu voir sur le net) >>
OUI c'est celà la Méthode de CARDAN
En effet tu ne précises pas le champ décrit par p et q !
Sont-ils réels purs ou complexes ??
N'importe comment :
CARDAN ====> TROIS racines complexes
Si p et q sont réels alors 1 racine réelle sûre et deux complexes conjuguées !!!!
Si p et q sont dans C alors :
p=q=0 ===> 0 racine TRIPLE
p<>0 alors racine au - double si et ssi le DISCRIMINANT
27.q^2+4.p^3 est nul et la racine au - double est A=-(3q/2p)
puis tu retrouves la racine TRIPLE lorsque q=0 . etc ......

Ok parfait !

Merci Oeil_de_Lynx pour votre aide.

oui ...