Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
Soient x1, x2, ...,xn les racines réelles de f, n>=1.
==> x1+x2+...+xn=-a_1 et (x1)(x2)...(xn)= (-1)^n.a_n
==> 1=(x1+x2+...+xn)²=(x1)²+(x2)²+...+(xn)²+2a_2 >= 2a_2
==> a_2=-1 et (x1)²+(x2)²+...+(xn)²=3
Par I.A.G , 3=(x1)²+(x2)²+...+(xn)²>= n ((x1)²(x2)²...(xn)²)^(1/n)=n
==> n=<3 , en outre pour n=3 on a l'égalité.
Si n=3 ==> x1²=x2²=x3²=1 . Comme |x1+x2+x3|=1, les xi ne sont pas de même signe.
==> -1 et 1 sont des racines de f ==> x3=-a_1=a_3
==> f(x)=(x²-1)(x-1) ou f(x)=(x²-1)(x+1)
Si n=2 ==> a_2=-1 et a_1²=1 ==> f(x)=x²+x-1 ou f(x)=x²-x-1
Si n=1 ==> f(x)=x+1 ou f(x)=x-1
A+
A+