Bonjour!
Solution postée.
voici la solution de kendor
On dira que (x,y,z) vérifient l’équation E si x3+3y3+9z3=9xyz
Si (a,b,c) sont des rationnels vérifiant E, alors il existe m, x, y, z entiers relatifs, avec m non nul ,tels que a=x/m, b=y/m et c=z/m
Donc (x/m) 3+3(y/m) 3+9(z/m) 3=9(x/m) (y/m) (z/m)
Donc x3+3y3+9z3=9xyz
Donc (x,y,z) sont des entiers vérifiant E
(x,y,z) sont des entiers vérifiant E, alors x3+3y3+9z3=9xyz
Alors x3 est un multiple de 3
Donc x aussi (théorème de Gauss)
Soit x=3u
Donc 27u3+3y3+9z3=27uyz
Donc y3+3z3=9u (yz-u2)
Donc y3 est un multiple de 3
Donc b aussi
Soit y=3v
Donc 27v3+3z3=9u (3vz-u2)
Donc z3 est un multiple de 3
Donc z aussi
Soit z=3w
Donc 27v3+81w3=81uvw-9u3
Donc u3+3v3+9w3=9uvw
(u,v,w) vérifient donc aussi E et sont entiers
Donc u est un multiple de 3, etc.
Ainsi, si (xn,yn,zn) sont des entiers vérifiant E, alors ce sont des multiples de 3 et (xn+1=xn/3,yn+1=yn/3,zn+1=zn/3) sont aussi des entiers vérifiant E
On a ainsi xn=x0/3n, qui tend vers 0 quand n tend vers l’infini
Comme les xn sont entiers, il existe n0 tel que xn0=0
Donc x0=3n0xn0=0
De même, y0=z0=0.
Donc (x,y,z)=(0,0,0)
Donc (a,b,c)=(0,0,0).
Ciao!A+
Kendor