exos hyper facile

Enoncé


Soit n un entier naturel.
Montrer que 30 | n5 - n


[b]

Il suffit de démontrer que 5|n^5-1 et 6|n^5-1.
On pose n=5k+r
et n=5q+r'
Ensuite, il suffit de traiter chaque cas(r=0, r=1...)

bah moi jlé trouvé avec une autre méthode j pense qu'elle est trop simple là voilà :

Décomposons 30 en produit de facteurs premiers; il vient 30 = 5.3.2
Comme chaque nombre premier intervenant dans la décomposition de 30 a une valuation de 1, il suffit de montrer que chaque nombre premier divise n5 - n, pour que leur produit qui est alors 30, le divise.
Montrons que 2 | n5 - n
On a n5 - n = n.(n4 - 1)
Si n est pair, on a 2 | n, donc 2 | n.(n4 - 1) d'où 2 | n5 - n.
Sinon, n est impair et alors n4 aussi donc n4 - 1 est pair.
Il vient donc 2 | n4 - 1, soit 2 | n5 - n.
Finalement, dans tous les cas 2 | n5 - n
Montrons que 3 | n5 - n
On a n5 - n = n.(n4 - 1) = n.(n² - 1).(n² + 1) = (n3 - n).(n² + 1)
3 étant un nombre premier, alors, d'après le petit théorème de Fermat
n N, n3 n [3]
Soit 3 | n3 - n et alors 3 | n5 - n
- Remarque :
On pouvait s'en sortir sans employer le petit théorème de Fermat, en considérant simplement les classes modulo 3 de n, et s'apercevoir que 3 divisait alors obligatoirement n ou n2 - 1 (donc n3 - n ).
En effet :
Soit n 0 [3] donc 3 | n.
Soit n 1 [3] donc n² 1 [3] et 3 | n² - 1
Soit n 2 [3] donc n² 1 [3] et 3 | n² - 1
Montrons que 5 | n5 - n
5 étant un nombre premier, alors, d'après le petit théorème de Fermat,
n N, n5 n [5]
D'où 5 | n5 - n
(Ctte fois-ci, l'étude des différentes classes modulo 5 devient plus fastidieuse...)
Finalement, comme 2, 3 et 5 sont premiers deux à deux, leur produit divise n5 - n
D'où 30 | n5 - n

bonne idéé et la premiere et aussi bref que celle si

c est trop lang

drdos a dit:
c est trop lang


si c'étt long donne une méthode courte!

wi c trop long , voici une belle sollution ;

n^5-n= (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)-5(n-1)n(n+1)

le nombre ecri en gras est le produit de 5 nombres successives , parmis eu il y a forcement un multipe de 2 , de 3 , et de 5. donc leur produit est forcement un multiple de 30.

pour 30|5(n-1)n(n+1) <==> 6|(n-1)n(n+1)

ce qui est vrai car parmis troip nombres successives il y a un multiple de 2 et de 3

oui bonne idée mé aussi ma méthode est bien mm si qu'elle est longue