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 problème N°135 (26/05/2008-01/06/2008)

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samir
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MessageSujet: problème N°135 (26/05/2008-01/06/2008)   Lun 26 Mai 2008, 14:09


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samir
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MessageSujet: Re: problème N°135 (26/05/2008-01/06/2008)   Lun 26 Mai 2008, 14:13

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

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selfrespect
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MessageSujet: Re: problème N°135 (26/05/2008-01/06/2008)   Mar 27 Mai 2008, 11:30

Réponse postée.
solution non trouver
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greatestsmaths
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MessageSujet: Re: problème N°135 (26/05/2008-01/06/2008)   Mer 28 Mai 2008, 11:27

salut
Réponse postée
voici la solution de greatsmaths
on pose U le signe de l'union .

Supposons, par une contradiction, que aucune sphère de rayon 1 ne contiennent plus de n points. supposons que M_1 ,..., M_ (mn +1) sont les points, et pour chaque i, supposons que S_i soit la sphère, avec M_i centre et de rayon 1. Ainsi, S_1 contient pas plus de n points. Il s'ensuit qu'il ya un point qui ne relève pas de S_1 on l'appelle M_2 . Puis M_1M_2> 1. Depuis S_1 U S_2 ne contient pas plus de 2n des points, il s'ensuit que, si m> 1, il existe un point, M_3 qui n'est pas en S_1 U S_2 . il s'ensuit que M_1M_3> 1 et M_2M_3> 1. Et ainsi de suite, on construit par induction une séquence M_1, ... M_m, M_ (m +1) tels que M_iM_j> 1 pour chaque i <j. Une contradiction.
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memath
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MessageSujet: Re: problème N°135 (26/05/2008-01/06/2008)   Mer 28 Mai 2008, 13:16

solution postée Wink
voici la solution de memath
supposons par absurde qu il n existe pas de sphere de rayon 1 et qui contiennent plus de q points.
soit M_i les points de l espace et S_i les spheres de rayon 1 et de centre M_i.
donc n importe quel S_i ne contient pas plus de q points.
S_1 ne contien pas plus de q points donc il existe un point qui n appartient pas à S_1 soit M_2.
donc on a M_1M_2>1.
et on sait que l intersection de S_1 et S_2 ne contient pas plus de 2q points donc il existe un point M_3 qui n appartient pas à cette intersection.
donc ; M_1M_3>1 et M_2M_3>1.
et ainsi de suite pour construire une suite M_1,M_2,....,M_(p+1) avec
M_iM_j>1 pour tout i<j ce qui est contradictoir avec l ennoncé.
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radouane_BNE
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Masculin Nombre de messages : 1488
Localisation : Montréal
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MessageSujet: Re: problème N°135 (26/05/2008-01/06/2008)   Mer 28 Mai 2008, 20:48

solution postée.
voici la solution de boukharfane radouane
Procédons par absurde, supposons qu'il n'existe aucun boule dont le rayon est 1 contenant n points.
soient M(1),...,M(pq+1) et soient S(1),...,S(pq+1) les boules dont le centre est respectivement M(1),...,M(pq+1) et de rayons 1.
S(1) ne contient pas plus de n points, donc d'après la supposition,il existe un point n'appartenant pas à S(1),notons la sans perdre la généralité,S(2).
Ainsi on a bien M(1)*M(2)>1.
Alors si on retranche la portion de boule S(2) de S(1),il vient que
S(1)/privé de S(2) ne peut contenir plus de 2*n points,d'où l'existence d'un point ,qu'on note S(3), qui n'appartient pas à S(1)/privé de S(2) .on déduit encore une fois que M(1)*M(2)>1 et M(2)*M(3)>1.
Par récurrence, on construit une suite (M(i))(1=<i=<q+1) tel que
M(i)*M(j)>1 pour tout i,j£[1,q+1] et i différent de j.
Ce qui aboutit à une contradiction avec l'énoncé (on peut tjr en trouver deux poins à distance 1 l’un de l’autre).
d'où la réponse.
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abdelbaki.attioui
Administrateur
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Localisation : maroc
Date d'inscription : 27/11/2005

MessageSujet: Re: problème N°135 (26/05/2008-01/06/2008)   Jeu 29 Mai 2008, 21:12

Solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
Bonjour, Soit E l'ensemble des pq+1 points. Il s'agit de montrer qu'il y a une boule B de rayon 1 telle que card(BnE)>=q+1.
Si une telle boule n'existe pas, alors qqs le point x, card(B(x)nE)=<q
où B(x)= la boule de centre x et de rayon 1.
Soit x1 un point de E
==> card(B(x1) n (E\{x1})=<q-1
==> il existe x2 dans E tel que d(x1,x2)>1
De la même façon , il existe x3 dans E tel que d(x2,x3)>1 et d(x1,x3)>1
Ainsi de suite jusqu'à xp tel que d(x1,xp)>1,..., d(x(p-1),xp)>1.
Soit B La réunion des Boules B(xi),
==> card(B n E)=<pq < Card E
==> il existe au moins un point x(p+1) n'appatenant pas à B.
Par contruction, qqs i#j d(xi,xj)>1 . Ce qui est contraire à l'hypothèse.
A+

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MessageSujet: Re: problème N°135 (26/05/2008-01/06/2008)   

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