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 Problème de Juin 2008

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abdelbaki.attioui
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abdelbaki.attioui

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MessageSujet: Problème de Juin 2008   Problème de Juin 2008 EmptyDim 01 Juin 2008, 13:04

Déterminer toutes les fonctions f:IR+ --> IR+ telles que
f(f(x))+f(x)=6x qqs x>0.

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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: Problème de Juin 2008   Problème de Juin 2008 EmptyDim 01 Juin 2008, 13:06

Salut,
Pour participer prière de :
1) Poster votre réponse par E-MAIL
abdelbaki.attioui@caramail.com


N'oublier pas de mettre, dans la solution, votre Nom utilisateur du Forum

2) Envoyer ici le message "Solution postée"
Merci

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Dernière édition par abdelbaki.attioui le Mar 01 Juil 2008, 14:42, édité 1 fois
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selfrespect
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MessageSujet: Re: Problème de Juin 2008   Problème de Juin 2008 EmptyDim 01 Juin 2008, 14:21

salut
solution postée .
A+
salut Mr abdelbaki :
notons f^n=f0f0f....0f la n ème itérée de f.
> remarquons que f=0 est une solution.
supposons que f soit une solution nn identiquement nulle :
on a f²=6id-f
f^3=6f-f²=7f-6id
en calculant f^3 .f^4 on remarque que chaque itération affine l'intervalle des images par f , en fait f >=0 ==> f^n>=0 qq soit n de N
alors cela revient a déterminer les deux suites (an) , (bn) tq :
f^n=an.f+bn.Id ( en fait leurs existence est assurée par une simple récurrence et qui donne en effet deux relations de récurage vérifiée par (an) et (bn)) on trouve enfin :
an=(2^n-(-3)^n)/5 et bn=6(2^(n-1)+(-1)^n.3^(n-1))/5
■pour n pair on a : f^2n=bn.[Id-(-an/bn)f) en passant a la limite lorsque n-->+00 -an/bn-->1/2 , or f^2n>=0 alors "Id>=f/2"
■pour n impair on trouve de mm "f>=2Id"
enfin on a prouvé , f solution ==> f=2IdR
Þ réciproquement la fct nulle et f=2IdR vérifient l'énonce.
A+
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joystar1
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MessageSujet: Re: Problème de Juin 2008   Problème de Juin 2008 EmptyDim 01 Juin 2008, 16:12

slt ,solution postée

soit (E) l'equation fonctionnelle
soit x un reel positif
soit la suite u_n definit par:
u_0=x,u_(n+1)=f(u_n)
(E)==>u_(n+2)+u_(n+1)-6u_n(pour x=u_n)
d'ou il existe 2 réel a et b tq:u_n=a(-3)^n+b2^n
-on suppose que a different de 0
il existe m tq A=(-3)^m+2^m <0
pour b=a-aA
on a d'une part: u_n=0 et d'autre part:u_n=aA(1-2^n)
pour n=1 on a :u_n=-aA different de 0 (absurde)
ainsi a=0 d'ou
u_n=b2^n
pour n=0=>u_0=x=b
pour n=1=>u_1=f(x)=2x
reciproquement x=>2x de R+ vers R+ verfie

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memath
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MessageSujet: Re: Problème de Juin 2008   Problème de Juin 2008 EmptyLun 02 Juin 2008, 11:49

solution postée Wink




slt !!

f(f(x))+f(x)=6x

on definie la suite des iteres de f par U_0=x , U_1=f(x) , U_2=f(f(x)) .....

et U_(n+1)=f(U_n)

donc U(n+2)+U(n+1)-6U_n=0

l equation X²+X-6=0 admet deux sollutions 2 et -3
donc il existe a et b de R+* tell que :

U_n=a2^n+b(-1)^n.3^n

si b est non nul donc 2^n =< |(-1)^n.(3)^n|

donc pour un n --> infinie on pourrait avoir U_n < 0
ce qui est contradictoire puisque f: R+ ---> R+
donc b=0

donc U_n=a.2^n

n=0 <==> U_0=x=a
n=1 <==> U_1=f(x)=2a

donc f(x)=2x est la seul sollution .
reciproquement f x:-->2x satisfait les conditions de l equation fonctionelle
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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: Problème de Juin 2008   Problème de Juin 2008 EmptyLun 02 Juin 2008, 20:38

salut;solution postée



La seule solution est f(x)=2x
Soit x un réel.

Soit a (0) = x, et considérons la suite a(n) définie par f^(n)(x)=a(n). la suite a(n) vérifie donc la relation récurrente a((n+2) + a(n+1) - 6a(n) = 0.l’équation caractéristique nous fournit de deux racines réels -3 et 2,ainsi on peut écrire la forme général de a(n) en tenant compte des conditions initiales par a(n) = (2 ^n) (3x+f(x))/5 + ((-3)^ n)(2x-f(x))/5.
Or la fonction f est positive, or vue l’expression de a(n),pour un nombre impaire suffisamment grand a(n) serait négative,donc pour que a(n) soit positive il faut que 2x-f(x)=0 d’où f(x)=2x,réciproquement f(x)=2x vérifie l’équation

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Weierstrass
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Weierstrass

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MessageSujet: Re: Problème de Juin 2008   Problème de Juin 2008 EmptyMer 04 Juin 2008, 20:58

Bonjour a tous

solution postée

Solution non trouvée
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ilham_maths
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MessageSujet: Re: Problème de Juin 2008   Problème de Juin 2008 EmptyMar 10 Juin 2008, 11:23

bonjour,

solution postée

a+
bonjour:

f(f(x))+f(x)=6x
suposons f(x)=ax donc f(f(x))=(a^2)x
alors f(f(x))+f(x)=6x est équivalent à ax+(a^2)x=6x
a^2+a-6=0
delta=25 ce qui donne a=2ou a=-3
on déduit que f(x)=2x ou f(x)=-3x.
merci

ilham_maths.
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yassine-mansouri
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MessageSujet: Re: Problème de Juin 2008   Problème de Juin 2008 EmptySam 14 Juin 2008, 18:55

Bonjour a tous
Solution Postée
A++++

Bonjour Mr attioui,je suis Yassine Mansouri et voila ma solution du problème du mois de juin:

f: lR+ -------> lR+
f(f(x))+f(x)=6x ;x>0
Je vais commencer par ces petites remarques
f(f(x))+f(x)=6x
f(f(f(x)))+f(f(x))=6f(x)
.
.
.
fof...of(x)+fof....f(x)=6fof....f(x)
n+2 n+1 n fois
on pose alors la suite
Un=fof.......f(x) avec Uo=x
n fois
on a alors Un+2 + Un+1 = 6 Un (*) n £ lN
on considère l'equation x²+x-6=0 . Les solutions des cette equation sont x_1=2 et x_2=-3
donc les suites qui verifient (*) s'ecrivent sous la forme Un=A(2)^n + B (-3)^n
(on note que A = g(x) et B = h(x) parceque U_0=A+B=x)
f: lR+ -------> lR+ donc pour tout n £ lN-{0} Un>=0 et Uo>o
donc A+B>0 et U1=2A-3B>=0
d'ou 3A+3B>0 et 2A-3B>=0 alors A>0
Un>=0 donc A(2)^n + B (-3)^n >=0 ==> A(2)^(2n+1) - B 3^(2n>+1)=0 et A(2)^(2n) + B(3)^(2n) >=0
==> B/A>=(2/3)^(2n+1) et - B/A >= (2/3)^(2n)
en faisant tendre n à +00 on obtient alors 0=<B=<0 d'ou B=0 et alors A=x
donc Un= 2^n x
Or U1=f( x) donc f( x)=2x pour tout x>0
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abdelbaki.attioui
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abdelbaki.attioui

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MessageSujet: Re: Problème de Juin 2008   Problème de Juin 2008 EmptyMar 01 Juil 2008, 14:34

La solution de ?

Prière de mettre, dans la solution, votre Nom utilisateur du Forum


salut Mr abdelbaki :
notons f^n=f0f0f....0f la n ème itérée de f.
> remarquons que f=0 est une solution.
supposons que f soit une solution nn identiquement nulle :
on a f²=6id-f
f^3=6f-f²=7f-6id
en calculant f^3 .f^4 on remarque que chaque itération affine l'intervalle des images par f , en fait f >=0 ==> f^n>=0 qq soit n de N
alors cela revient a déterminer les deux suites (an) , (bn) tq :
f^n=an.f+bn.Id ( en fait leurs existence est assurée par une simple récurrence et qui donne en effet deux relations de récurage vérifiée par (an) et (bn)) on trouve enfin :
an=(2^n-(-3)^n)/5 et bn=6(2^(n-1)+(-1)^n.3^(n-1))/5
■pour n pair on a : f^2n=bn.[Id-(-an/bn)f) en passant a la limite lorsque n-->+00 -an/bn-->1/2 , or f^2n>=0 alors "Id>=f/2"
■pour n impair on trouve de mm "f>=2Id"
enfin on a prouvé , f solution ==> f=2IdR
Þ réciproquement la fct nulle et f=2IdR vérifient l'énonce.
A+

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Dernière édition par abdelbaki.attioui le Mar 01 Juil 2008, 14:41, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: Problème de Juin 2008   Problème de Juin 2008 EmptyMar 01 Juil 2008, 14:41

abdelbaki.attioui a écrit:
La solution de ?

salut Mr abdelbaki :
notons f^n=f0f0f....0f la n ème itérée de f.
> remarquons que f=0 est une solution.
supposons que f soit une solution nn identiquement nulle :
on a f²=6id-f
f^3=6f-f²=7f-6id
en calculant f^3 .f^4 on remarque que chaque itération affine l'intervalle des images par f , en fait f >=0 ==> f^n>=0 qq soit n de N
alors cela revient a déterminer les deux suites (an) , (bn) tq :
f^n=an.f+bn.Id ( en fait leurs existence est assurée par une simple récurrence et qui donne en effet deux relations de récurage vérifiée par (an) et (bn)) on trouve enfin :
an=(2^n-(-3)^n)/5 et bn=6(2^(n-1)+(-1)^n.3^(n-1))/5
■pour n pair on a : f^2n=bn.[Id-(-an/bn)f) en passant a la limite lorsque n-->+00 -an/bn-->1/2 , or f^2n>=0 alors "Id>=f/2"
■pour n impair on trouve de mm "f>=2Id"
enfin on a prouvé , f solution ==> f=2IdR
Þ réciproquement la fct nulle et f=2IdR vérifient l'énonce.
A+
salut
c'est ma reponse lol! c'est bizarre jai envoyé la reponse du pb de la semaine et du moi de la mm boite mais seule la reponse du pb du moi qui a été reçue Wink merçi bien
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MessageSujet: Re: Problème de Juin 2008   Problème de Juin 2008 EmptyJeu 03 Juil 2008, 14:39

selfrespect a écrit:
abdelbaki.attioui a écrit:
La solution de ?

salut Mr abdelbaki :
notons f^n=f0f0f....0f la n ème itérée de f.
> remarquons que f=0 est une solution.
supposons que f soit une solution nn identiquement nulle :
on a f²=6id-f
f^3=6f-f²=7f-6id
en calculant f^3 .f^4 on remarque que chaque itération affine l'intervalle des images par f , en fait f >=0 ==> f^n>=0 qq soit n de N
alors cela revient a déterminer les deux suites (an) , (bn) tq :
f^n=an.f+bn.Id ( en fait leurs existence est assurée par une simple récurrence et qui donne en effet deux relations de récurage vérifiée par (an) et (bn)) on trouve enfin :
an=(2^n-(-3)^n)/5 et bn=6(2^(n-1)+(-1)^n.3^(n-1))/5
■pour n pair on a : f^2n=bn.[Id-(-an/bn)f) en passant a la limite lorsque n-->+00 -an/bn-->1/2 , or f^2n>=0 alors "Id>=f/2"
■pour n impair on trouve de mm "f>=2Id"
enfin on a prouvé , f solution ==> f=2IdR
Þ réciproquement la fct nulle et f=2IdR vérifient l'énonce.
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fau qu'elle soit envoyé a amateurmaths@yahoo.fr et non pa a l'adresse de Mr abdel baki atioui
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MessageSujet: Re: Problème de Juin 2008   Problème de Juin 2008 EmptyJeu 03 Juil 2008, 15:06

yassine-mansouri a écrit:
selfrespect a écrit:
abdelbaki.attioui a écrit:
La solution de ?

salut Mr abdelbaki :
notons f^n=f0f0f....0f la n ème itérée de f.
> remarquons que f=0 est une solution.
supposons que f soit une solution nn identiquement nulle :
on a f²=6id-f
f^3=6f-f²=7f-6id
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alors cela revient a déterminer les deux suites (an) , (bn) tq :
f^n=an.f+bn.Id ( en fait leurs existence est assurée par une simple récurrence et qui donne en effet deux relations de récurage vérifiée par (an) et (bn)) on trouve enfin :
an=(2^n-(-3)^n)/5 et bn=6(2^(n-1)+(-1)^n.3^(n-1))/5
■pour n pair on a : f^2n=bn.[Id-(-an/bn)f) en passant a la limite lorsque n-->+00 -an/bn-->1/2 , or f^2n>=0 alors "Id>=f/2"
■pour n impair on trouve de mm "f>=2Id"
enfin on a prouvé , f solution ==> f=2IdR
Þ réciproquement la fct nulle et f=2IdR vérifient l'énonce.
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c'est ma reponse lol! c'est bizarre jai envoyé la reponse du pb de la semaine et du moi de la mm boite mais seule la reponse du pb du moi qui a été reçue Wink merçi bien
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fau qu'elle soit envoyé a amateurmaths@yahoo.fr et non pa a l'adresse de Mr abdel baki atioui
ah merçi , p étre j'ai envoyé les deux au meme distinataire !!
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MessageSujet: Re: Problème de Juin 2008   Problème de Juin 2008 EmptyJeu 03 Juil 2008, 15:08

ya pa de probleme l mohim kharejtih ^^
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MessageSujet: Re: Problème de Juin 2008   Problème de Juin 2008 Empty

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