| problème N°135 (26/05/2008-01/06/2008) | |
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Auteur | Message |
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samir Administrateur
Nombre de messages : 1872 Localisation : www.mathematiciens.tk Date d'inscription : 23/08/2005
| Sujet: problème N°135 (26/05/2008-01/06/2008) Lun 26 Mai 2008, 14:09 | |
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samir Administrateur
Nombre de messages : 1872 Localisation : www.mathematiciens.tk Date d'inscription : 23/08/2005
| Sujet: Re: problème N°135 (26/05/2008-01/06/2008) Lun 26 Mai 2008, 14:13 | |
| salut chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL amateursmaths@yahoo.fr (Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée ) puis il poste le message suivant ici "solution postée" pour plus d'information voir les conditions de participation Merci | |
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selfrespect Expert sup
Nombre de messages : 2514 Localisation : trou noir Date d'inscription : 14/05/2006
| Sujet: Re: problème N°135 (26/05/2008-01/06/2008) Mar 27 Mai 2008, 11:30 | |
| Réponse postée. solution non trouver | |
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greatestsmaths Maître
Nombre de messages : 174 Age : 33 Date d'inscription : 22/09/2007
| Sujet: Re: problème N°135 (26/05/2008-01/06/2008) Mer 28 Mai 2008, 11:27 | |
| salut Réponse postée voici la solution de greatsmaths on pose U le signe de l'union .
Supposons, par une contradiction, que aucune sphère de rayon 1 ne contiennent plus de n points. supposons que M_1 ,..., M_ (mn +1) sont les points, et pour chaque i, supposons que S_i soit la sphère, avec M_i centre et de rayon 1. Ainsi, S_1 contient pas plus de n points. Il s'ensuit qu'il ya un point qui ne relève pas de S_1 on l'appelle M_2 . Puis M_1M_2> 1. Depuis S_1 U S_2 ne contient pas plus de 2n des points, il s'ensuit que, si m> 1, il existe un point, M_3 qui n'est pas en S_1 U S_2 . il s'ensuit que M_1M_3> 1 et M_2M_3> 1. Et ainsi de suite, on construit par induction une séquence M_1, ... M_m, M_ (m +1) tels que M_iM_j> 1 pour chaque i <j. Une contradiction. | |
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memath Expert sup
Nombre de messages : 1645 Age : 31 Localisation : oujda Date d'inscription : 17/02/2007
| Sujet: Re: problème N°135 (26/05/2008-01/06/2008) Mer 28 Mai 2008, 13:16 | |
| solution postée voici la solution de memathsupposons par absurde qu il n existe pas de sphere de rayon 1 et qui contiennent plus de q points. soit M_i les points de l espace et S_i les spheres de rayon 1 et de centre M_i. donc n importe quel S_i ne contient pas plus de q points. S_1 ne contien pas plus de q points donc il existe un point qui n appartient pas à S_1 soit M_2. donc on a M_1M_2>1. et on sait que l intersection de S_1 et S_2 ne contient pas plus de 2q points donc il existe un point M_3 qui n appartient pas à cette intersection. donc ; M_1M_3>1 et M_2M_3>1. et ainsi de suite pour construire une suite M_1,M_2,....,M_(p+1) avec M_iM_j>1 pour tout i<j ce qui est contradictoir avec l ennoncé. | |
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radouane_BNE Modérateur
Nombre de messages : 1488 Localisation : Montréal Date d'inscription : 11/01/2006
| Sujet: Re: problème N°135 (26/05/2008-01/06/2008) Mer 28 Mai 2008, 20:48 | |
| solution postée. voici la solution de boukharfane radouane Procédons par absurde, supposons qu'il n'existe aucun boule dont le rayon est 1 contenant n points. soient M(1),...,M(pq+1) et soient S(1),...,S(pq+1) les boules dont le centre est respectivement M(1),...,M(pq+1) et de rayons 1. S(1) ne contient pas plus de n points, donc d'après la supposition,il existe un point n'appartenant pas à S(1),notons la sans perdre la généralité,S(2). Ainsi on a bien M(1)*M(2)>1. Alors si on retranche la portion de boule S(2) de S(1),il vient que S(1)/privé de S(2) ne peut contenir plus de 2*n points,d'où l'existence d'un point ,qu'on note S(3), qui n'appartient pas à S(1)/privé de S(2) .on déduit encore une fois que M(1)*M(2)>1 et M(2)*M(3)>1. Par récurrence, on construit une suite (M(i))(1=<i=<q+1) tel que M(i)*M(j)>1 pour tout i,j£[1,q+1] et i différent de j. Ce qui aboutit à une contradiction avec l'énoncé (on peut tjr en trouver deux poins à distance 1 l’un de l’autre). d'où la réponse. | |
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abdelbaki.attioui Administrateur
Nombre de messages : 2564 Localisation : maroc Date d'inscription : 27/11/2005
| Sujet: Re: problème N°135 (26/05/2008-01/06/2008) Jeu 29 Mai 2008, 21:12 | |
| Solution postée voici la solution d'abdelbaki.attioui Bonjour, Soit E l'ensemble des pq+1 points. Il s'agit de montrer qu'il y a une boule B de rayon 1 telle que card(BnE)>=q+1. Si une telle boule n'existe pas, alors qqs le point x, card(B(x)nE)=<q où B(x)= la boule de centre x et de rayon 1. Soit x1 un point de E ==> card(B(x1) n (E\{x1})=<q-1 ==> il existe x2 dans E tel que d(x1,x2)>1 De la même façon , il existe x3 dans E tel que d(x2,x3)>1 et d(x1,x3)>1 Ainsi de suite jusqu'à xp tel que d(x1,xp)>1,..., d(x(p-1),xp)>1. Soit B La réunion des Boules B(xi), ==> card(B n E)=<pq < Card E ==> il existe au moins un point x(p+1) n'appatenant pas à B. Par contruction, qqs i#j d(xi,xj)>1 . Ce qui est contraire à l'hypothèse. A+ | |
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| Sujet: Re: problème N°135 (26/05/2008-01/06/2008) | |
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| problème N°135 (26/05/2008-01/06/2008) | |
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