Inégalité

a,b et c des nombres réels positifs tel que ab+ac+bc=1,prouvez que:

salut ::

ov a divise l'inegalite principale a deux inegalite

1)1/(a+b)²+1/(a+c)²+1/(b+c)²>=9/(a+b)²+(a+c)²+(b+c)²>=9/4(ab+ac+bc)=9/4 car (a+b)²>=4ab selon IAG

2)3*(ab/a+b)²+(ac/a+c)²+(bc/(b+c)²>=(ab+ac+bc/2(ab+bc+ac)²>=1/4(a+b+c)² selon l'inegalite de jenson sur la fonction ___>x² (concave sur R)

on sait que 3<=(a+b+c)²<=4donc

(ab/a+b)²+(ac/a+c)²+(bc/(b+c)²>=1/4

avec la sommation de deux inegalite ona

1)+2)>=9/4+1/4=5/2

sauf erreur bien entendu

badr a écrit:

[b]salut ::

ov a divise l'inegalite principale a deux inegalite

1)1/(a+b)²+1/(a+c)²+1/(b+c)²>=9/(a+b)²+(a+c)²+(b+c)²>=9/4(ab+ac+bc) =9/4 car (a+b)²>=4ab selon IAG

pk ???

parce que c'est faut

badr a écrit:

salut ::

ov a divise l'inegalite principale a deux inegalite

1)1/(a+b)²+1/(a+c)²+1/(b+c)²>=9/(a+b)²+(a+c)²+(b+c)²>=9/4(ab+ac+bc)=9/4 car (a+b)²>=4ab selon IAG

2)3*(ab/a+b)²+(ac/a+c)²+(bc/(b+c)²>=(ab+ac+bc/2(ab+bc+ac)²>=1/4(a+b+c)² selon l'inegalite de jenson sur la fonction ___>x² (concave sur R)

on sait que 3<=(a+b+c)²<=4donc

(ab/a+b)²+(ac/a+c)²+(bc/(b+c)²>=1/4

avec la sommation de deux inegalite ona

1)+2)>=9/4+1/4=5/2

sauf erreur bien entendu

SAlut Badr, peut-tu réfléchir a ce qui est en rouge??

rachid18 a écrit:

a,b et c des nombres réels positifs tel que ab+ac+bc=1,prouvez que:

Voici ce que j'ai trouvé:
L'inégalité est equivalente à:


ou aussi


soustrayant 3/2 des deux cotés ( 3/2(ab+ac+bc) au coté gauche) elle est equivalente à :


==>

supposons que a>=b>=c on a:


on doit prouver que:


ce qui est equivalent a


ce qui est vrai par AM-GM .

rachid ,peut tu réécrir ta démo avec le latex??, pourtant je crois que c'est juste , car \sum(a-b)^2(....) >=0 figure dans ma démo aussi
A+

C'est fait.

Alaoui.Omar a écrit:

badr a écrit:

salut ::

ov a divise l'inegalite principale a deux inegalite

1)1/(a+b)²+1/(a+c)²+1/(b+c)²>=9/(a+b)²+(a+c)²+(b+c)²>=9/4(ab+ac+bc)=9/4 car (a+b)²>=4ab selon IAG

2)3*(ab/a+b)²+(ac/a+c)²+(bc/(b+c)²>=(ab+ac+bc/2(ab+bc+ac)²>=1/4(a+b+c)² selon l'inegalite de jenson sur la fonction ___>x² (concave sur R)

on sait que 3<=(a+b+c)²<=4donc

(ab/a+b)²+(ac/a+c)²+(bc/(b+c)²>=1/4

avec la sommation de deux inegalite ona

1)+2)>=9/4+1/4=5/2

sauf erreur bien entendu

SAlut Badr, peut-tu réfléchir a ce qui est en rouge??

salut Omar!

on sait que qq soit ab et c >0

1/a+1/b+1/c>=9/a+b+c se qui permet de pose

1/(a+b)²+1/(a+c)²+1/(b+c)²>=9/(a+b)²+(a+c)²+(b+c)²>=9/4(ab+ac+bc)

donc (ab+bc+ac)*1/(a+b)²+1/(a+c)²+1/(b+c)²>=9/4 (**)

d'autre part (ab/a+b)²+(ac/a+c)²+(bc/b+c)² =1/(1/a+1/b)+1/(1/b+1/c)+1/(1/b+1/c) on remplace 1/a par a et puis b et c dans (**)

(ab/a+b)²+(ac/a+c)²+(bc/b+c)²>=9/4(1/ab+1/bc+1/ac) et 1/ab+1/ac+1/bc>=9/ab+ac+bc=9 ce qui donne que

(ab/a+b)²+(ac/a+c)²+(bc/b+c)²>=9/4*1/9=1/4(***)

avec le somme de (**)+(***)>=9/4+1/4=5/2

badr a écrit:

Alaoui.Omar a écrit:

badr a écrit:

salut ::

ov a divise l'inegalite principale a deux inegalite

1)1/(a+b)²+1/(a+c)²+1/(b+c)²>=9/(a+b)²+(a+c)²+(b+c)²>=9/4(ab+ac+bc)=9/4 car (a+b)²>=4ab selon IAG

2)3*(ab/a+b)²+(ac/a+c)²+(bc/(b+c)²>=(ab+ac+bc/2(ab+bc+ac)²>=1/4(a+b+c)² selon l'inegalite de jenson sur la fonction ___>x² (concave sur R)

on sait que 3<=(a+b+c)²<=4donc

(ab/a+b)²+(ac/a+c)²+(bc/(b+c)²>=1/4

avec la sommation de deux inegalite ona

1)+2)>=9/4+1/4=5/2

sauf erreur bien entendu

SAlut Badr, peut-tu réfléchir a ce qui est en rouge??

salut Omar!

on sait que qq soit ab et c >0

1/a+1/b+1/c>=9/a+b+c se qui permet de pose

1/(a+b)²+1/(a+c)²+1/(b+c)²>=9/(a+b)²+(a+c)²+(b+c)²>=9/4(ab+ac+bc)

donc (ab+bc+ac)*1/(a+b)²+1/(a+c)²+1/(b+c)²>=9/4 (**)

d'autre part (ab/a+b)²+(ac/a+c)²+(bc/b+c)² =1/(1/a+1/b)+1/(1/b+1/c)+1/(1/b+1/c) on remplace 1/a par a et puis b et c dans (**)

(ab/a+b)²+(ac/a+c)²+(bc/b+c)²>=9/4(1/ab+1/bc+1/ac) et 1/ab+1/ac+1/bc>=9/ab+ac+bc=9 ce qui donne que

(ab/a+b)²+(ac/a+c)²+(bc/b+c)²>=9/4*1/9=1/4(***)

avec le somme de (**)+(***)>=9/4+1/4=5/2

slt badr !!

ce que t as ecri en rouge implique :
(a+b)²+(b+c)²+(c+a)² =< 4(ab+ac+bc)

<==> a²+b²+c² =< ab+ac+bc alors que c est l inverse.

badr a écrit:

Alaoui.Omar a écrit:

badr a écrit:

salut ::

ov a divise l'inegalite principale a deux inegalite

1)1/(a+b)²+1/(a+c)²+1/(b+c)²>=9/(a+b)²+(a+c)²+(b+c)²>=9/4(ab+ac+bc)=9/4 car (a+b)²>=4ab selon IAG

2)3*(ab/a+b)²+(ac/a+c)²+(bc/(b+c)²>=(ab+ac+bc/2(ab+bc+ac)²>=1/4(a+b+c)² selon l'inegalite de jenson sur la fonction ___>x² (concave sur R)

on sait que 3<=(a+b+c)²<=4donc

(ab/a+b)²+(ac/a+c)²+(bc/(b+c)²>=1/4

avec la sommation de deux inegalite ona

1)+2)>=9/4+1/4=5/2

sauf erreur bien entendu

SAlut Badr, peut-tu réfléchir a ce qui est en rouge??

salut Omar!

on sait que qq soit ab et c >0

1/a+1/b+1/c>=9/a+b+c se qui permet de pose

1/(a+b)²+1/(a+c)²+1/(b+c)²>=9/(a+b)²+(a+c)²+(b+c)²>=9/4(ab+ac+bc)
donc (ab+bc+ac)*1/(a+b)²+1/(a+c)²+1/(b+c)²>=9/4 (**)

d'autre part (ab/a+b)²+(ac/a+c)²+(bc/b+c)² =1/(1/a+1/b)+1/(1/b+1/c)+1/(1/b+1/c) on remplace 1/a par a et puis b et c dans (**)

(ab/a+b)²+(ac/a+c)²+(bc/b+c)²>=9/4(1/ab+1/bc+1/ac) et 1/ab+1/ac+1/bc>=9/ab+ac+bc=9 ce qui donne que

(ab/a+b)²+(ac/a+c)²+(bc/b+c)²>=9/4*1/9=1/4(***)

avec le somme de (**)+(***)>=9/4+1/4=5/2

Encore

ah oui j'ai fait une telle faute qui est grave merci les gare a me singaler

le sujet est de montrez que 1/(a+b)²+1/(a+c)²+1/(b+c)²>=9/4

on a 1/(a+b)²+1/(a+c)²+1/(b+c)²>=9/(a+b)²+(a+c)²+(b+c)²

(a+b)²+(a+c)²+(b+c)²=2(a²+b²+c²)+2(ab+cd+ac)=2(a²+b²+c²)+2


on a apres chebchev 3=3(ab+bc+ac)>=(a+b+c)²

(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+cb+ac)=a²+b²+c²+2

donc 3>=a²+b²+c²+2

donc a²+b²+c²<=1 donne que 2(a²+b²+c²)+2<=4 ===>9/ 2(a²+b²+c²)+2>=9/4

1/(a+b)²+1/(a+c)²+1/(b+c)²>=9/4