Inégalité avec a_i, a_j € R*.

Soient a_1, a_2, ..., a_n € R*.
Montrer que :

la somme=(somme sur 1=<i<j=<n) 2aiaj /(ai²+aj²) +n/2 >=0

Et bien, c'est une autre manière d'écrire cette inégalité.

Bonsoir;
Une idée:
En posant bij=ai/Racine(ai²+aj²) et en considérant la matrice B=(bij)ij on vérifie facilement que
la somme en question est trace(B²) (sauf erreur)

Il s'agit en fait de montrer la positivité de la forme quadratique:
qn(x1,..,xn)=Somme(1<=i,j<=n)xixj/(ai²+aj²)
Pour cela on peut procéder par récurrence:
(*)q1(x)=x1²/2a1²>=0
(*)qn+1(x1,..,xn+1)=xn+1²/2an+1²+2xn+1Somme(1<=i<=n)xi/(ai²+an+1²)+Somme(1<=i,j<=n)xixj(ai²+aj²)
C'est un trinôme en xn+1 avec discriminant réduit:
Delta'=(-1/2an+1²)qn(y1,..yn)<=0 où yi=xi(ai²-an+1²)/(ai²+an+1²)
(Sauf erreur bien entendu)

Un exercice intéréssant serait d'étudier le cas d'égalité