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 problème N°138 (16/06/2008-22/06/2008)

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samir
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MessageSujet: problème N°138 (16/06/2008-22/06/2008)   Lun 16 Juin 2008, 20:22


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samir
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MessageSujet: Re: problème N°138 (16/06/2008-22/06/2008)   Lun 16 Juin 2008, 20:25

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

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yassine-mansouri
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MessageSujet: Re: problème N°138 (16/06/2008-22/06/2008)   Mar 17 Juin 2008, 04:01

solution postée
voici la solution de yassin mansouri

pour le triplet (0,0,0) verifi l'equation
suposon que a #0et b#0et c#0
en utilisant IAG
((a^3 + 3b^3 + 9c^3)^3)/3 >=27(abc)^3 avec legalité si a^3= 3b^3
=9c^3
donc a^3 + 3b^3 + 9c^3 >=9abc avec legalité si a^3= 3b^3 =9c^3
donc a^3 + 3b^3 + 9c^3 =9abc ==> a^3= 3b^3 =9c^3

a^3= 3b^3 et a^3=9c^3 et et b^3 =9c^3
==> (a/b)^3=3 et (a/c)^3=3 et (b/c)^3=9 et (b/a)^3=1/3 (psq a #0et
b#0et c#0 )
==>les racines cubique de 3 et 9 et 1/3 sont rationnelles ce qui est
impossible
donc il n'existe pas de solution sauf (0,0,0)
A+++
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greatestsmaths
Maître
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MessageSujet: Re: problème N°138 (16/06/2008-22/06/2008)   Mar 17 Juin 2008, 13:30

solution postée
solution non trouver
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Kendor
Féru


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MessageSujet: Solution au problème de la semaine n°138 par Kendor   Sam 21 Juin 2008, 02:07

Bonjour!

Solution postée.
voici la solution de kendor
On dira que (x,y,z) vérifient l’équation E si x3+3y3+9z3=9xyz



Si (a,b,c) sont des rationnels vérifiant E, alors il existe m, x, y, z entiers relatifs, avec m non nul ,tels que a=x/m, b=y/m et c=z/m

Donc (x/m) 3+3(y/m) 3+9(z/m) 3=9(x/m) (y/m) (z/m)

Donc x3+3y3+9z3=9xyz

Donc (x,y,z) sont des entiers vérifiant E



(x,y,z) sont des entiers vérifiant E, alors x3+3y3+9z3=9xyz

Alors x3 est un multiple de 3

Donc x aussi (théorème de Gauss)

Soit x=3u

Donc 27u3+3y3+9z3=27uyz

Donc y3+3z3=9u (yz-u2)

Donc y3 est un multiple de 3

Donc b aussi

Soit y=3v

Donc 27v3+3z3=9u (3vz-u2)

Donc z3 est un multiple de 3

Donc z aussi

Soit z=3w

Donc 27v3+81w3=81uvw-9u3

Donc u3+3v3+9w3=9uvw

(u,v,w) vérifient donc aussi E et sont entiers

Donc u est un multiple de 3, etc.



Ainsi, si (xn,yn,zn) sont des entiers vérifiant E, alors ce sont des multiples de 3 et (xn+1=xn/3,yn+1=yn/3,zn+1=zn/3) sont aussi des entiers vérifiant E

On a ainsi xn=x0/3n, qui tend vers 0 quand n tend vers l’infini

Comme les xn sont entiers, il existe n0 tel que xn0=0

Donc x0=3n0xn0=0

De même, y0=z0=0.



Donc (x,y,z)=(0,0,0)

Donc (a,b,c)=(0,0,0).



Ciao!A+

Kendor
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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: problème N°138 (16/06/2008-22/06/2008)   Lun 23 Juin 2008, 15:30

Solution postée
voici la solution de adelbaki.attioui
la racine cubique de 3 n'est pas rationnel. Donc abc=0 ==> a=b=c=0.
Si abc non nul, par homogéniété, on se raméne alors à c=1.
On pose a=m/n et b=r/s (fractions irréductibles)
==> (ms)^3+3(rn)^3+9(ns)^3=9(ms)(rn)(ns)
Il suffit de résoudre l'équation x^3+3y^3+9z^3=9xyz dans Z.
==> x=3x', y=3y' et z=3z'
==> x'^3+3y'^3+9z'^3=9x'y'z' même équation de départ .
On peut supposer x>=0 ==> x=0 ( descente infinie) ==> x=y=z=0.

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وقل ربي زد ني علما
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MessageSujet: Re: problème N°138 (16/06/2008-22/06/2008)   

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