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 problème N°35 de la semaine (26/06/2006-02/07/2006 )

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samir
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MessageSujet: problème N°35 de la semaine (26/06/2006-02/07/2006 )   Lun 26 Juin 2006, 15:02


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samir
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MessageSujet: Re: problème N°35 de la semaine (26/06/2006-02/07/2006 )   Lun 26 Juin 2006, 15:03

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: problème N°35 de la semaine (26/06/2006-02/07/2006 )   Lun 26 Juin 2006, 18:14

Bonjour
solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
Bonjour
On applique IAG
(prod de i=1 à n) xi(1-xi) =< ( (somme de i=1 à n) xi /n)^n * ( (somme de i=1 à n) (1-xi) /n)^n = 1/n^n *( (n-1)/n)^n
A+

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وقل ربي زد ني علما
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eto
Maître
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Masculin Nombre de messages : 198
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MessageSujet: Re: problème N°35 de la semaine (26/06/2006-02/07/2006 )   Lun 26 Juin 2006, 18:25

salut
solution postée
voici la solution d'eto
salut d pares l inegalite du moyene arithmetiqye geometrique on a
\frac{(\sum_{1}^{n}x_i)^n}{n^n}\geq \prod_{1}^{n}x_i
dou \frac{1}{n^n}\geq \prod_{1}^{n}x_i (1)
\frac{(\sum_{1}^{n}1-x_i)^n}{n^n}\geq \prod_{1}^{n}(1-x_i)
dou \frac{(n-1)^n}{n^n}\geq \prod_{1}^{n}(1-x_i) (2)
et on multipli les deux inegalité : le resultats
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pco
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 678
Date d'inscription : 06/06/2006

MessageSujet: Re: problème N°35 de la semaine (26/06/2006-02/07/2006 )   Mer 28 Juin 2006, 11:38

Bonjour,
Solution postée.
voici la solution de pco
Bonjour,

Soit f(x) = Ln(x(1-x)) avec x dans ]0,1[
Il est facile de montrer que f(x) est concave (f"(x) < 0)

==> (1/n)somme(f(x_i)) <= f((1/n)somme(x_i))
==> Ln(produit( x_i(1 - x_i))) <= n f(1/n) = n Ln((n-1)/n^2)
==> produit( x_i(1 - x_i)) <= (n-1)^n/n^(2n)

CQFD


--
Patrick
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kalm
Expert sup
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Nombre de messages : 1098
Localisation : khiam 2
Date d'inscription : 26/05/2006

MessageSujet: Re: problème N°35 de la semaine (26/06/2006-02/07/2006 )   Mer 28 Juin 2006, 16:57

solution postee
aa+
voici la solution de Kalm
en s'ait que: x_1x_2 =<((x_1+x_2)/2)^2
et : x_1x_2x_3 =<((x_1+x_2+x_3)/3)^3
..................................................
donc: la generalisation est
x_1x_2...x_n =<((x_1+x_2+...+x_n)/n)^n
donc: en applique cette inequation
x_1x_2...x_n =<((x_1+x_2+...+x_n)/n)^n
<=> x_1x_2...x_n=< 1/n^n (1)
et:(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_n)=<((1-x_1+1-x_2+...+1-x_n)/n)^n
<=>:(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_n)=<((n-1)/n)^n (2)
donc: en fait la multiplication des cote de 1 et 2
x_1(1-x_1)x_2(1-x_2)...x_n(1-x_n)=<(1/n^n)*((n-1)/n)^n
<=> x_1(1-x_1)x_2(1-x_2)...x_n(1-x_n)=<(n-1)^n/n^n*n^n
<=>x_1(1-x_1)x_2(1-x_2)...x_n(1-x_n)=<(n-1)^n/n^2n
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elhor_abdelali
Expert grade1
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Masculin Nombre de messages : 459
Age : 54
Localisation : Maroc.
Date d'inscription : 24/01/2006

MessageSujet: Re: problème N°35 de la semaine (26/06/2006-02/07/2006 )   Mer 28 Juin 2006, 22:22

Bonsoir;
Solution postée farao
voici la solution d'elhor abdelalai
C'est une simple conséquence de la convexité de la fonction f : x ---> -ln(x-x²)
Si on veut être plus précis (f étant strictement convexe) on a même le cas d'égalité : x1=x2=..=xn
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MessageSujet: Re: problème N°35 de la semaine (26/06/2006-02/07/2006 )   

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