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 trés difficile mais....

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radouane_BNE
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radouane_BNE

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MessageSujet: trés difficile mais....   trés difficile mais.... EmptyMar 24 Juin 2008, 19:49

prouver l'existence et l'unicité d'une seule fonction bijective définie de IR+ vers IR+ telle que:
trés difficile mais.... Clip_i13

avec f^(-1) est la fonction réciproque de f.
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abdelbaki.attioui
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abdelbaki.attioui

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MessageSujet: Re: trés difficile mais....   trés difficile mais.... EmptySam 28 Juin 2008, 13:18

qqs x>=0 , f'(x)=g(x) ( g c'est la réciproque def)
==> f'(x)>=0 ==> f est croissante. Comme f est injective
==> f est strictement croissante
g(0)>=0 ==> 0=f(g(0))>=f(0) ==> f(0)=0
==> f'(x)=g(x)>0 qqs x>0.
==> g est dérivable sur ]0,+00[ et g'(x)f'(g(x))=1 qqs x>0
==> f est de classe C 00 sur ]0,+00[.

En fait, f(0)=f'(0)=0 ceux sont les conditions initiales ( Cauchy)
==> l'unicité
soit x>0, f'(f(x))=x=f(f'(x)) ==> f'(x)f''(f(x))=1
==> f''(x)f''(f(x))+f'(x)²f'''(f(x))=0
==> f''(f'(x))f''(x)+f'(f'(x))²f'''(x)=0
==> f'''(x)<0 ==> f" strictement décroissante >0
==> f " admet une limite finie en +00 qui ne peut être que 0
sinon, f' puis f admettrait elle aussi une limite finie en +00

_________________
وقل ربي زد ني علما
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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: trés difficile mais....   trés difficile mais.... EmptySam 28 Juin 2008, 14:45

j'ai essayé de comprendre votre solution Monsieur Attioui mais je pense qu'il ne mène à rien,la dérnière équation semble compliquer le problème ni plus ni moins sauf que j'ai pas bien saisi votre idée.
le truc de cet exo c'est qu'il pose des problèmes consernant l'unicité,quant à l'existence c'est pas un problème,par exemple on impose une solution sous la forme
f(x)=a*x^b,en remplaçant ds l'équation on trouve que 1/b=b-1 d'où a.
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exodian95
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MessageSujet: Re: trés difficile mais....   trés difficile mais.... EmptySam 28 Juin 2008, 21:29

Je ne crois pas que les conditions initiales de cauchy peuvent garantir l'unicité. Sauf s'il existe une version du théorème plus généralisée que je ne connais pas.
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elhor_abdelali
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MessageSujet: Re: trés difficile mais....   trés difficile mais.... EmptyLun 11 Aoû 2008, 21:11

Bonjour ;

une idée :

Soit la fonction h : IR+* ----> IR+* , x ----> xf'(x)/f(x)

pour tout y>0 et f(x)=y on a h(y)=xf(x)/fof(x)

la formule généralisée des accroissements finis donne z>0 tel que h(y)=1+1/h(z)

d'où Imh C ]1,2[

si m=inf Imh et M=sup Imh on doit avoir M=1+1/m et m=1+1/M

d'où h est constante de valeur le nombre d'or b=(1+V5)/2

le reste est facile farao (sauf erreur bien entendu)
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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: trés difficile mais....   trés difficile mais.... EmptyMar 12 Aoû 2008, 02:26

je suis trés navré si je suis stupide mais j'ai pas bien compris votre idée Elhor,comment vous avez appliqué le TAF généralisé et d'où vient ce Imh£]1,2[?
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elhor_abdelali
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MessageSujet: Re: trés difficile mais....   trés difficile mais.... EmptyMer 13 Aoû 2008, 12:12

TAF Généralisé : (u(a)-u(b))/(v(a)-v(b))=u'(c)/v'(c) avec a=x , b=0, u=xf , v=fof

en notant z le c on a pour tout y=f(x)>0 il existe z>0 tel que h(y)=(f(z)+zf'(z))/zf'(z)=1+1/h(z) non ???
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elhor_abdelali
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MessageSujet: Re: trés difficile mais....   trés difficile mais.... EmptySam 16 Aoû 2008, 11:41

L'idée est bonne Mr boukharfane ! Et si tu veux je peux la détailler d'avantage farao (sauf erreur bien entendu)
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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: trés difficile mais....   trés difficile mais.... EmptySam 16 Aoû 2008, 18:08

ok monsieur LHOr j'ai une solution qui a presque la mème idée mais si longue et compliquée j'éssayria de la poster aujourd'ui ou demain.

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MessageSujet: Re: trés difficile mais....   trés difficile mais.... EmptyVen 12 Sep 2008, 15:35

Alors Mr boukharfane tu n'as pas donné suite à ce topic et j'attends toujours ta solution farao
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MessageSujet: Re: trés difficile mais....   trés difficile mais.... EmptySam 22 Nov 2008, 17:28

si c bijective c tt simplement f(x)=x .......................
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stil2med
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MessageSujet: Re: trés difficile mais....   trés difficile mais.... EmptySam 22 Nov 2008, 17:29

on a fais ce exercice dans notre DS de math
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elhor_abdelali
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MessageSujet: Re: trés difficile mais....   trés difficile mais.... EmptyLun 24 Nov 2008, 12:49

ça m'étonnerait Exclamation
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elhor_abdelali
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elhor_abdelali

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MessageSujet: Re: trés difficile mais....   trés difficile mais.... EmptyMar 05 Jan 2010, 23:34

Bonsoir ;
Pour plus de détails voir aussi http://www.mathsland.com/Forum/lire-message.php?forum=5&identifiant=849c0ceac9f391e78d28d93ee1eaff71 farao sauf erreur bien entendu
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MessageSujet: Re: trés difficile mais....   trés difficile mais.... Empty

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