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 arith

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stof065
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MessageSujet: arith   arith EmptyJeu 26 Juin 2008, 16:58

(x,y)£ N tel que
x+3x²=y+4y²
mq :
(x-y) un carré parfait
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Figo
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MessageSujet: Re: arith   arith EmptyJeu 26 Juin 2008, 17:09

france 2005,voici une preuve tres courte:
x+3x²=y+4y² ==> (4y-3x)²=(x-y)(12x-12y+1)... .


Dernière édition par rachid benchlikha le Jeu 26 Juin 2008, 17:37, édité 1 fois
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codex00
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MessageSujet: Re: arith   arith EmptyJeu 26 Juin 2008, 17:12

rachid benchlikha a écrit:
france 2005,voici une preuve tres courte:
x+3x²=y+4y² ==> (4y-3x)²=(x-y)(12x-12y+1)... .
reste à prouver que 12x-12y+1 est un carré parfait pour déduire (je vois pas comment) Suspect
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stof065
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MessageSujet: Re: arith   arith EmptyJeu 26 Juin 2008, 17:19

il suffit de remarquer que PGCD((x-y);(12(x-y)+1)=1
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stof065
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MessageSujet: Re: arith   arith EmptyJeu 26 Juin 2008, 17:21

ma demo
(x^y)²=(x²^y²)=(x²-y²^y²)=((x-y)(x+y)^y²)=(x-y)((x+y)^(1+3(x+y))=x-y
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yassine-mansouri
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MessageSujet: Re: arith   arith EmptyJeu 26 Juin 2008, 17:28

meme demo ^^
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MessageSujet: Re: arith   arith EmptyJeu 26 Juin 2008, 17:35

voici d autre preuve (envoye par greatestsmaths)
http://www.hebergementimages.com/images/1214390979_9999.bmp
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yassine-mansouri
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MessageSujet: Re: arith   arith EmptyJeu 26 Juin 2008, 17:40

yassine-mansouri a écrit:
meme demo ^^
plutot meme idé
voila
on pose x^y = d
x=ad et y=bd avec a^b=1
3a²d²+ad=4b²d²+bd
<=> 3a²d+a=4b²d+b
<=>a-b=d(4b²-3a²)
<=> d/a-b

dautre part on a 3a²+a -3b²d-b=b²d
<=>(a-b)(3(a+b)+1) = b²d
<=>a-b/b²d
c facile a demontrer que (a-b) ^ b =1 (psq a ^ b =1)
dou (a-b) ^ b² =1
alors celon Gauss a-b/b²d et (a-b) ^ b² =1 ==> a-b/d

a-b/d et d/a-b donc
a-b=d
dou
ad-bd=d²
dou
x-y=d² ^^
A+++


Dernière édition par yassine-mansouri le Jeu 26 Juin 2008, 17:55, édité 1 fois
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yassine-mansouri
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MessageSujet: Re: arith   arith EmptyJeu 26 Juin 2008, 17:46

stof065 a écrit:
ma demo
(x^y)²=(x²^y²)=(x²-y²^y²)=((x-y)(x+y)^y²)=(x-y)((x+y)^(1+3(x+y))=x-y

Joli methode
^^
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stof065
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MessageSujet: Re: arith   arith EmptyJeu 26 Juin 2008, 17:50

merci a sat
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codex00
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MessageSujet: Re: arith   arith EmptyVen 27 Juin 2008, 15:15

stof065 a écrit:
ma demo
(x^y)²=(x²^y²)=(x²-y²^y²)=((x-y)(x+y)^y²)=(x-y)((x+y)^(1+3(x+y))=x-y
Très bien faite cheers
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raito321
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MessageSujet: Re: arith   arith EmptyJeu 03 Juil 2008, 12:11

(x^y)² = x^(2y) ??
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MessageSujet: Re: arith   arith EmptyJeu 03 Juil 2008, 12:38

non dans cette exo on a considéré le symbole ^ comme PGCD
et non pa x a la puissance y tu voi
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raito321
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MessageSujet: Re: arith   arith EmptyJeu 03 Juil 2008, 12:43

lol!!
ok !
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MessageSujet: Re: arith   arith EmptyVen 11 Juil 2008, 18:04

Autre demo :

on a x+3x²=y+4y² donc x-y+3(x²-y²)=y² donc (x-y)(3x+3y+1)=y²!!

On va montrer que pgcd((x-y);(3x+3y+1))=1 :

On pose pgcd((x-y);(3x+3y+1))=d donc evident que d|y ainsi d|x donc d|1 donc d=1 !!

Puis on sais que si le produit de deux nombres premiers entre eux est un carré alors ces deux nombres sont des carrés aussi !!

D'ou x-y est un carré !!
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