equation

resoudre dans N l equation suivante:5/x-3/y=1

supposons que x>=y donc 5/x =< 5/y
donc :

5/x-3/y =< 5/y-3/y=2/y

donc 2/y >=1 ==> y=< 2

donc y=1 ou y=2

ac y=1 on a pas de sollutions entieres , donc y=2 on trouve x=2

les sollutions sont (x,y)=(2,2)

Résoudre 5/x-3/y=1 revient à résoudre 5y-3x=xy

CAS 1 : x pair => xy est pair, donc forcément y est pair
CAS 2 x impair :
si y est pair => xy est pair et 5y-3x est impair =>impossible
si y est impair => xy est impair et 5y-3x est pair => impossible

On en déduit que x et y sont pairs.

5y-3x=xy =>5y=x(3+y).
Donc, soit 5y|3+y, soit 5|3+y et y|x
5y|3+y est clairement fausse (il est facile de s'en assurer)
5y-3x=xy =>3x=y(5-x).
Donc, soit 3x|5-x soit 3|5-x et x|y
3x|5-x est aussi clairement fausse

Ainsi, on a : 3|5-x, x|y, y|x et 5|3+y et x|y
=> x=y, 3|5-x et 5|3+x
=>5-x=3k et 3+x=5q
=>8=3k+5q

On en déduit que les solutions sont x=y=2.

mhdi il te manque un truc :

Bon je donne une demo simple :

L'équation du départ revient à résoudre 5y-3x=xy qui revient à résoudre (5-x)(3+y)=15 puisque 3+y > 0 alors x<5 !!

x=1 pas de solution !

x=2 , y=2 ok!

x=3 pas de solution !

x=4 , y=12

donc S={(2,2),(4,12)}

memath a écrit:

supposons que x>=y donc 5/x =< 5/y
donc :

5/x-3/y =< 5/y-3/y=2/y

donc 2/y >=1 ==> y=< 2

donc y=1 ou y=2

ac y=1 on a pas de sollutions entieres , donc y=2 on trouve x=2

les sollutions sont (x,y)=(2,2)

T'as supposer que x>y et pour le cas x<y tu en fais quoi?

t as raison j avais pas remarqué qu elle n est pas symetrique
donc ta preuve est la plus complete