equation

resoudre dans IN^4 l'equation suivante
a²+b²+c²+d²=7.4^n

Bonjour
en fait il ya un theoreme qui s'appele "Théorème des quatre carrés de Lagrange"(1770) : pour tout entier naturel n il existe quatre entiers positifs a,b,c et d tels que n=a²+b²+c²+d²,en 1798 le mathematicien Adrien-Marie Legendre ameliora ce theoreme en ajoutant que tt entier n peut secrire sous forme d'une somme de quatre carrés si et seulement s'il n'est pas de la forme 4^k (8m+7)
donc S= {}
A++

yassine-mansouri a écrit:

Bonjour
en fait il ya un theoreme qui s'appele "Théorème des quatre carrés de Lagrange"(1770) : pour tout entier naturel n il existe quatre entiers positifs a,b,c et d tels que n=a²+b²+c²+d²,en 1798 le mathematicien Adrien-Marie Legendre ameliora ce theoreme en ajoutant que tt entier n peut secrire sous forme d'une somme de quatre carrés si et seulement s'il n'est pas de la forme 4^k (8m+7)
donc S= {}
A++

Sans utiliser le Th il va être difficile de démontrer tout cela !!

raito321 a écrit:

yassine-mansouri a écrit:

Bonjour
en fait il ya un theoreme qui s'appele "Théorème des quatre carrés de Lagrange"(1770) : pour tout entier naturel n il existe quatre entiers positifs a,b,c et d tels que n=a²+b²+c²+d²,en 1798 le mathematicien Adrien-Marie Legendre ameliora ce theoreme en ajoutant que tt entier n peut secrire sous forme d'une somme de quatre carrés si et seulement s'il n'est pas de la forme 4^k (8m+7)
donc S= {}
A++

Sans utiliser le Th il va être difficile de démontrer tout cela !!

eh wéh biensur
j'ai aucune idé pour un tel exo donc j'ai ecri ce que je sais
c'est interdi ou koi????

pr tt x de N peut etre ecrit d'une maniere unique ss la forme :
x={2^x1}.x2 avec x2 impaire.
vue la symetrie du pb on peut supposer a1=Min(a1,b1..d1) l'equation <==> (a2)²+(b2)²(2^{2b1-2a1})+...=7.(2^{2n-a1})**
Ïsi n=a1 c'est terminé.
Ïsi n<a1 alors ** ==> que l'un des nbrs {b1,c1,d1} est egale a a1 , rien nous n'empeche de supposer que b1=a1 ( tjs la symetrie pr b1 ,c1, d1)
alors on a : (a2)²+(b2)²+(c2.2^{c1-a1})²+(d2.2^{d1-a1})²=7.2^{2n-2a1}
or n>a1 alors (a2)²+(b2)²+(c2.2^{c1-a1})²+(d2.2^{d1-a1})²=0 mod(4) .mais (a2)²+(b2)²=2[4] (les 2 sont impaires )
hmm Ceçi dit bien que c1=d1=a1=µ
on reprend a=2^µ.a2, b=2^n.b2,c=2^µ.c2,d=2^µ.d2 avec µ<n on remplace dans l'equation qu on a au debut
((a2)²+(b2)²+(c2)²+(d2)²)=2^{2n-2µ} ش
les xi sont des nbres impaires alors 4^{n-µ}=4[8] ==>n=µ+1 a ce stade la je crois que c'est terminé .
ش==> (a2)²+(b2)²+(c2)²+(d2)²=4 donons a chacun d'eux 1 (oh les impaires !! ) S=ensemble vide.

yassine-mansouri a écrit:

eh wéh biensur
j'ai aucune idé pour un tel exo donc j'ai ecri ce que je sais
c'est interdi ou koi????

Point du tout

d'accord

selfrespect a écrit:

pr tt x de N peut etre ecrit d'une maniere unique ss la forme :
x={2^x1}.x2 avec x2 impaire.
vue la symetrie du pb on peut supposer a1=Min(a1,b1..d1) l'equation <==> (a2)²+(b2)²(2^{2b1-2a1})+...=7.(2^{2n-a1})**
Ïsi n=a1 c'est terminé.
Ïsi n que l'un des nbrs {b1,c1,d1} est egale a a1 , rien nous n'empeche de supposer que b1=a1 ( tjs la symetrie pr b1 ,c1, d1)
alors on a : (a2)²+(b2)²+(c2.2^{c1-a1})²+(d2.2^{d1-a1})²=7.2^{2n-2a1}
or n>a1 alors (a2)²+(b2)²+(c2.2^{c1-a1})²+(d2.2^{d1-a1})²=0 mod(4) .mais (a2)²+(b2)²=2[4] (les 2 sont impaires )
hmm Ceçi dit bien que c1=d1=a1=µ
on reprend a=2^µ.a2, b=2^n.b2,c=2^µ.c2,d=2^µ.d2 avec µ
((a2)²+(b2)²+(c2)²+(d2)²)=2^{2n-2µ} ش
les xi sont des nbres impaires alors 4^{n-µ}=4[8] ==>n=µ+1 a ce stade la je crois que c'est terminé .
ش==> (a2)²+(b2)²+(c2)²+(d2)²=4 donons a chacun d'eux 1 (oh les impaires !! ) S=ensemble vide.

oui c tt