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 isométries

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pelikano
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MessageSujet: isométries   isométries EmptyMar 08 Juil 2008, 15:53

Je cherche à déterminer toutes les isométries de |Rn muni de la distance dp induite par la norme de Hölder
|| (x_1,...,x_n) ||p = (|x_1|^p+...+|x_n|^p)^(1/p)

n est un naturels non nuls et p un REEL dans [1,+oo[ tout deux fixés.

Pour le cas n=1, (exo classique) on trouve :
f(x) = +x + f(0) ou f(x)=-x+ f(0)

Le problème pour n quelconque, c'est que l'exercice est tiré d'un cours de topo donc a priori n'utilisant pas toute l'artillerie affine et matricielle.
Pourtant , si n=p le groupe des isométries est bien solution avec la décomposition de la matrice n.n en blocs.
Par contre si n différent de p, je suis bloqué...
Il me semble que les fonctions de la forme (j'appelle (e_i) la base canonique) :
f: |Rn ---> |Rn
sum x_i.e_i ----> sum a_i. x_g(i).e_i + f(0)

avec a_i qui vaut +1 ou -1 et g une permutation de Sn

sont solutions du problème mais sont-elles les seules? cela fait 2^n.n! types de solutions différentes (n'y a til pas de redondance dans ces solutions(partielles) explicitées)
Merci d'avance à ceux qui pourrait m'éclaicir les idées.
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pelikano
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MessageSujet: Re: isométries   isométries EmptyLun 21 Juil 2008, 16:28

snif vraiment personne ne peut m'aider pour cet exo ? Sinon je cherche un lien vers un site qui donne la démonstration du théorème d'invariance du domaine de brouwer :

Soit U un ouvert de Rn et f : U->Rn une application injective et continue. Alors f(U) est un ouvert de Rn et f : U->f(U) est un homéomorphisme.

En gros, je cherche à pouvoir montrer que Rn et Rm ne sont pas homéomorphe.
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pelikano
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MessageSujet: Re: isométries   isométries EmptyMar 26 Aoû 2008, 13:06

Bon, vu que cette rubrique n'est pas très active, je vais mettre des pistes de solutions pour mon exercice que j'ai résolu.

D'abord, il faut montrer qu'une isométrie ie une bijection préservant les distances entre deux espaces normés est forcément affine. C'est le théorème de Mazur–Ulam

http://en.wikipedia.org/wiki/Mazur-Ulam_theorem

la preuve très claire est dans les external link


Ensuite, on peut sortir l'artillerie linéaire pour notre isométrie. le sujet suivant permet de résoudre le problème :

http://www.sujets-de-concours.net/sujets/ccp/2007/mp/maths2.pdf
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