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 polynome

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khadija-daria
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MessageSujet: polynome   polynome EmptyMar 15 Juil 2008, 20:28

hi guys,
I find this exercice really beautiful,what about you?

find all polynomials P such that P(x)²+P(1/x)²=P(x²)*P(1/x²).
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selfrespect
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selfrespect

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MessageSujet: Re: polynome   polynome EmptyMar 15 Juil 2008, 22:17

en remarquant que en gauche on a un polynome en (x^k+1/x^k) et a droite on a un polynome (x^(2k)+x^(-2k)) on deduit que le produit des coefficients de parité diff sont nuls .. j'ai trouvé que seul le polynome nul convient ( je suis po sur ) mais çela n'a aucun signe de beauté Laughing
merçi.
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pelikano
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MessageSujet: Re: polynome   polynome EmptyMer 16 Juil 2008, 00:41

Hum Hum. Il me semble que tu as oublié de mettre les polynôme au carré dans le terme de gauche.

Sinon, on peut le faire en injectant P=sum a_i.x^i pour i =0...n et en développant.
On regarde le terme en x^2n et il vient a_n=a_0
puis on regarde le terme constant et il vient que tout les autres termes sont nuls : sum (a_i²) pour i=1...n-1 = 0
On a donc nécessairement P=a(x^n+1)
On réinjecte pour montrer que a vaut nécessairement zéro (sauf erreur de ma part)
réciproquement le polynôme nul convient.


Dernière édition par pelikano le Mer 16 Juil 2008, 01:03, édité 1 fois
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kalm
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MessageSujet: Re: polynome   polynome EmptyMer 16 Juil 2008, 00:46

si on pose p(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n donc
P(x)²+P(1/x)²=P(x²)*P(1/x²)x^2n(a_nx^n+...+a_0)²+(a_n+...+a_0x^n)²=(a_nx^2n+...+a_0)(a_n+...+a_0x^2n)
donc : a_0a_n=a_0² et a_n²=a_0a_n et pour les coeifficiens de x^2n on a 2a_0²=a_n²+...+a_0² =>a_0=a_1=...=a_n=0 d'ou p(x)=0
pour selfrespect:daaarha lmchych moul lbtana,kaytrkl mskin ?yak hhh
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selfrespect
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MessageSujet: Re: polynome   polynome EmptyMer 16 Juil 2008, 00:53

pelikano a écrit:
hum hum ta pas oublié les carrés dasn le membre de gauche?
les indices k agauche varient dans {0,1...N} mais a droite dans {0...P} p #n. (partie entier..)
a Kalm: mshyesh howa !! Laughing
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radouane_BNE
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radouane_BNE

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MessageSujet: Re: polynome   polynome EmptyMer 16 Juil 2008, 15:49

permettez moi selfrespect,pelikano et kalm de tenter ma chance avec cet exo.Wink

on sait si un polynome p²(x) est en x²;alors alors il existe un polynome q tel
que p(x)=g(x²) ou p(x)=xq(x²).

en vertu de lemme on obtient donc,puisque p(x)² vérifie cette condition,p(x)=q(x²) ou p(x)=xq(x²).
si on remplace ds l'équation on obtient:

dans le premeir cas q(x)²+q(1/x)²=q(x²)*q(1/x²) c'est la mème équation vérifié par p
dans le deuxième cas x*q(x)²+1/x*q(1/x)²=q(x²)*q(1/x²) ce qui est impossible car les deux cotés ont pour dégres paire et impaire respictivement.

il reste donc que p(x)=q(x²) et de mème pour q il existe un autre polynome t tel que q(x)=t(x²) ainsi de suite...on prend donc le polynome du plus bas degrés qui est le polynome constant.

par suite p(x)=Cste.
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memath
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MessageSujet: Re: polynome   polynome EmptyMer 16 Juil 2008, 18:49

reciproquement p(x)=c ne verifie pas l equation Wink

je crois que la seul sollution est p(x)=0
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kalm
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MessageSujet: Re: polynome   polynome EmptyMer 16 Juil 2008, 18:52

memath a écrit:
reciproquement p(x)=c ne verifie pas l equation Wink

je crois que la seul sollution est p(x)=0
wach nta b39lk wla mslfou ?!!! warah chnou tangoulou mn sba7 asa7bi
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selfrespect
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MessageSujet: Re: polynome   polynome EmptyMer 16 Juil 2008, 18:57

memath a écrit:
reciproquement p(x)=c ne verifie pas l equation Wink

je crois que la seul sollution est p(x)=0
cat
pr radouane : je trouve ton idée genial il me resemble a la descente infinie p etre son utilusation sera plus forte dans le genre d'exo qui demande de montrer linexistence !Smile
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MessageSujet: Re: polynome   polynome Empty

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