Autour des endomorphismes.

voila un exo classique! je crois qu'il pourra tomber dans un oral.
K etant un sous corp de C.soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n>=2.soit u un endomorphisme non nul et non bijective de E.
1-Montrer qu'il existe au moins un endomorphisme v de E verifiant a la fois u0v0u=u et rg(u)=rg(v).
2-Montrer qu'un tel endomorphisme v de E verifie v0u0v=v.

Bon alors je donne une solution

Par l'axiome du choix il existe une fonction v : E--> E telle que :

pour tout x dans Imu, u^(-1)[{x}] est non vide appelons v(x) un de ces éléments. On a donc :

uov(x) = x pour tout x dans Imu (v est clairement injective)

pour tout x qui ne sont pas dasn Imu, je pose v(x) = 0

On a alors, pour tout x dans E u(x) est dasn Imu et donc :

uovu(x) = u(x)

On a donc : dimE = rg IdE = rg (uov) =< rgu
ce qui donne dim E = rg u et donc u est injective par la formule du rang.

par ailleurs, on a :

uov(x+ay) = x+ay = uov(x)+auov(y) = u(v(x)+av(y))

l'injectivité de u fournit que v est linéaire

finalement, l'injectivité de v donne rgv = dimE = rgu

enfin, la denière question est triviale si on a uov = IdE

mais c'est quoi l'application f sachant que u n'est pas bijective

je lirai attentivement ce que ta ecrit "pelikano".mais sache que g trouvé une solution sans utiliser la notion de l'axiome du choix que ta cité au debut,je lpostrai prochainement.

dsl j'ai corrigé u^(-1) c'est l'image réciproque

Pour ce qui est d'une solution sans l'axiome du choix, j'ai des doutes. Il faudra à mon avis l'utiliser implicitement (sachant que bon on ne fait pas d'algèbre linéaire sans le lemme de Zorn équivalent à AC qui permet de faire une théorie de la dimension). Remarquez que je n'ai pas supposé l'espace E de dimension finie

ma reponse et un peu similaire a la tienne mais
bon j'espere qu'elle soit correcte.
on va definir v:
soit "F"c"E" un sous es-vectoriel supplementaire de
Imu dans E et soit r=dimImu,et B=(u(e1),...,u(er))
une base de Imu.Definisons v de la maniere suivante
v(u(ei))=ei pour ts i dans [|1,r|] et v(F)=O.
soit donc (x £ E) alors ,
$u(x)=\sum_{i=1\toi=r}\alpha_{i}u(e_{i})$,où $\alpha_{i}$
sont ts dans K ,on a $(vou)(x)=\sum_{i=1\toi=r}\alpha_{i}v0u(e_{i})$
$(vou)(x)=\sum_{i=1\toi=r}\alpha_{i}e_{i}$ donc
$(uovou)(x)=\sum_{i=1\toi=r}\alpha_{i}u(e_{i})=u(x)$.donc uovou=u
en fait il suffit de considerer une base de E et d'y coincider
uovou et u.Or $E=Imu\oplusF$ donc v(E)=v(Imu) d'où
v(E)=vect(vou(e1),...,vou(er))=vect(e1,...,er) d'où dimImv=r=dimImu
alors le rg(u)=rg(v).

dsl j'arrive pas à tout comprendre les symboles...