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 problème N°143 (21/07/2008-27/07/2008)

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samir
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MessageSujet: problème N°143 (21/07/2008-27/07/2008)   Lun 21 Juil 2008, 21:34


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samir
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MessageSujet: Re: problème N°143 (21/07/2008-27/07/2008)   Lun 21 Juil 2008, 22:03

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

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pelikano
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MessageSujet: Re: problème N°143 (21/07/2008-27/07/2008)   Mar 22 Juil 2008, 01:55

Solution postée puis corrigé et repostée juste (j'espère)
voici la solution de pelikano
On remarque que 2^1 = 1^3 + 1^3 et 3^2 = 2^3 + 1^3 c'est à dire que 2 et 3 sont solutions de notre problème.

Soit p un entier premier tel que p>=5 solution du problème. Il existe donc trois entiers strictement positifs n, x et y tel que : p^n = x^3 + y^3 = (x+y)(x²-xy+y²) = (x+y).[ (x+y)² -3xy ]

Je décompose n = a+b et la primalité de p permet d'écrire :

x+y = p^a
(x+y)²-3xy = p^b

déjà notons que si a = 0, alors x+y = 1 ce qui absurde puisque x>=1 et y>=1 soit x+y>=2.
donc a est non nul.
Il vient de la deuxième relation :
p^(2a) = p^b + 3xy

le fait que x, y et p sont non nuls impose que 2a>b>=0.
Il vient alors :
3xy = p^b(p^(2a-b) - 1)

Ici, je décompose x et y : x= p^v_p(x) . x' et y = p^v_p(y) . y' avec PGCD(x', p) = PGCD(y', p) = 1
Il vient alors :
3x'.y' = p^(b-v_p(x)-v_p(y)).(p^(2a-b) -1)

Ici, si b-v_p(x)-v_p(y) est non nul, alors p divise 3x'y' et PGCD(p, 3x'y') = 1 d'où p=1 ABSURDE.
On en déduis que b = v_p(x) + v_p(y)
On a donc le système à résoudre en x' et y' :

3x'.y' = p^(2a-v_p(x)-v_p(y)) - 1
p^v_p(x).x' + p^v_p(y).y' = p^a

La deuxième égalité permet d'obtenir x' en fonction de y' puis en injectant dans la première égalité, on obtient après simplification une équation du second degré

3.p^(v_p(y)-v_p(x)). y'² + 3.p^(a-v_p(x)). y' + p^(2a-v_p(x)-v_p(y)) - 1 = 0

dont le discriminant est :

-3 . p^v_p(y) . [ p^(2a-b) - 4]

et l'hypothèse p>=5 impose que le discriminant est strictement négatif donc l'équation n'a pas de solution en y' .

Conclusion : les seuls entiers premiers solutions du problème sont 2 et 3 CQFD

J'espère cette fois ne pas m'être trompé dans le raisonnement


Dernière édition par pelikano le Mer 23 Juil 2008, 08:16, édité 1 fois
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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: problème N°143 (21/07/2008-27/07/2008)   Mar 22 Juil 2008, 15:19

Solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
Soit (n,x,y) solution de p^n=x^3+y^3. On peut supposer que p ne divise ni x ni y.
Car La p-valuation de x=La p-valuation de y (i.e le plus grand exposant de p dans la décomposition de x égal à celui de y). En effet,
si x=p^a.x' et y=p^b.y' ( p ne divise ni x' ni y') avec b>=a
==> p^(n-3a)=x'^3+p^(3b-3a).y'^3
==> a=b car x'>0 et y'>0
==> (n-3a, x/p^a,y/p^a) solution avec PGCD(x/p^a,p)=PGCD(x/p^a,p)=1
On a , p^n=x^3+y^3=(x+y)(x²-xy+y²)
==> x+y=p^s et x²-xy+y²=p^(n-s) avec 0<s=<n. ( s>0 car x>0 et y>0)
==> p^(n-s)=(x+y)²-3xy=p^(2s)-3xy
si 0<s<n alors p=3. (2,2,1) solution car 3²=2^3+1^3
si s=n ==> x²-xy+y²=1 ==> Par I.A.G, xy=<1 ==> x=y=1
==> p^n=2 ==> p=2 , (1,1,1) solution car 2^1=1^3+1^3

A+

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Dernière édition par abdelbaki.attioui le Mar 28 Juil 2015, 11:17, édité 2 fois
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hypermb
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MessageSujet: Re: problème N°143 (21/07/2008-27/07/2008)   Mer 23 Juil 2008, 13:06

Solution postée
voici la solution de hypermb

format word
solution de hypermb

voilà je le poste sous format image :



Dernière édition par hypermb le Lun 28 Juil 2008, 19:40, édité 1 fois
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galois2000
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MessageSujet: Re: problème N°143 (21/07/2008-27/07/2008)   Mer 23 Juil 2008, 18:16

solution postée
solution non trouver (administration )
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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: problème N°143 (21/07/2008-27/07/2008)   Jeu 24 Juil 2008, 11:42

salut tout le monde.
solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
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joystar1
Maître


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MessageSujet: Re: problème N°143 (21/07/2008-27/07/2008)   Sam 26 Juil 2008, 21:31

solution postée
voici la solution de joystar1
soit p solution==>il existe n,x,y
p^n=x^3+y^3=(x+y)*(x²+y²-xy)
on pose x+y=p^n_1 et x²+y²-xy=p^n_2 et n_1+n_2=n
-si n_1*n_2=0==>x+y=1ou x²+y²-xy=1
x+y=1==>xy=0(absurde)
x²+y²-xy=1==>(x,y)=(1,1)==>p^n=2==>p=2
reciproquement: 2^1=1^3+1^3
-si n_1*n_2<>0==>p/x+y et p/x²+y²-xy(1)
p/x+y==>p/(x+y)²=x²+y²+2xy(2)
(2)-(1)==>p/3xy=>p=3 ou p/x ou p/y
pour p=3 on a :3^2=1^3+2^3
pour p/x==>p/y(p/x+y)
on pose x=x'p et y=y'p
l'equation devient:p^(n-3)=x'^3+y'^3
en posant n-3=m on retrouve que p=2 et p=3 sont les seules solutions possibles
en repetant l'operation on trouve que dans tout les cas p=2 ou p=3
d'ou S={2,3}
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hypermb
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MessageSujet: Re: problème N°143 (21/07/2008-27/07/2008)   Lun 28 Juil 2008, 20:10

oups, je crois qu'il me manque des choses dans ma solution ...
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MessageSujet: Re: problème N°143 (21/07/2008-27/07/2008)   

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